Questão 31 - UFU 2° Dia 2012/2

O número áureo aparece com frequência em proporções ligadas a fenômenos da natureza e em magníficos projetos arquitetônicos. Neste contexto, alguns objetos matemáticos estão associados à elaboração estrutural de tais projetos. Este é o caso do retângulo áureo, cuja razão entre o menor e maior lado é o número áureo. Uma maneira simples de construir um retângulo áureo é dada pelo seguinte roteiro: 

 

1º) Construa um quadrado ABCD de lados medindo 1 metro e um segmento de reta ligando o ponto médio O do lado AD ao ponto médio do lado BC, oposto ao lado AD.

2º) Considere a reta r contendo o segmento AD. Com centro em O e raio OC, trace um arco de circunferência do vértice C até intersectar a reta r no ponto F.

3º) Prolongue BC e trace a perpendicular à r por F, obtendo o ponto E. O retângulo ABEF é áureo.

No retângulo áureo ABEF, se o ângulo θ é dado em radianos, então, dentre as expressões que seguem, aquela que corresponde ao valor da área sombreada, em m², é