Questões de EFAI Matemática

Pafúncio mora em uma rua onde só existem casas. O numeral de cada uma dessas casas é composto por somente $3$ algarismos distintos. Sabe-se, ainda, que o algarismo das centenas de cada um desses numerais nunca é zero.

Sendo assim, o maior numeral natural possível que poderia representar a casa de Pafúncio tem, como resultado da soma dos seus algarismos, o valor

Ao acordar, os garotos resolveram seguir em frente à procura do tesouro. Logo se depararam com três ampulhetas gigantes. Cada uma tinha uma placa com o tempo de escoamento total da areia contida.

Se recolhermos toda areia das três ampulhetas e dividirmos em quatro ampulhetas iguais e de mesmo tempo de escoamento, pode-se afirmar que o tempo máximo de escoamento de cada ampulheta será de:

Em meio à conversa, Alice disse:

– Acho que o que Orfeu esconde é um tesouro.

Todos concordaram com a suposição de Alice e adormeceram pensando sobre isso. Pedro, que adorava futebol, sonhou que achava o tesouro e mandaria fazer um campo de futebol em sua casa. Para gramar o campo todo, que tinha o formato de um retângulo, com $105\mathrm{\text{metros}}$ de comprimento e $70\mathrm{\text{metros}}$ de largura, ele usaria placas de grama iguais e com formato de quadrado com lado medindo $3,5\mathrm{\text{metros}}$. O número de placas de grama necessárias para cobrir todo o campo é:

Em suas aventuras diárias, Pedro, Lucas, Rita e Alice decidiram entrar em uma casa abandonada que ficava na esquina da rua em que eles moravam. Ao chegarem à casa, perceberam que havia muitos objetos pelo chão. Entre eles, um chamou mais a atenção: era uma garrafa dourada que tinha um papel velho enrolado em sua volta. Tamanha foi a curiosidade das crianças que, de imediato, pegaram o papel que estava na garrafa e, ao abri-lo, encontraram o seguinte enigma:

"Aquilo que escondi ninguém irá encontrar,

Pois, partindo da porta de entrada,

Trinta passos ao norte eu vou dar,

Para confundir meus inimigos

Cinquenta passos a leste irei caminhar.

E, logo em seguida,

Cinquenta passos ao sul irei retornar.

E, para chegar ao esconderijo,

Onde guardo o que é meu,

Dou Cinquenta passos ao oeste

Até a caverna de Orfeu.”

Partindo da porta de entrada (admitindo-se que entre um passo e outros existe a mesma distância) o número mínimo de passos que os garotos devem dar para chegar à caverna de Orfeu é:

A figura abaixo representa uma malha formada por pequenos quadrados, todos de mesmo tamanho. Nessa malha, existem alguns quadrados que já estão pintados, conforme a figura.

Novos quadrados serão pintados, os quais serão agregados aos quadrados que já estão pintados.

Sendo assim, o número máximo de novos quadrados que deverão ser pintados, a fim de que a região inicialmente pintada aumente a sua área, sem aumentar o seu perímetro é igual a