Questões de EFAF Matemática

Leia o texto abaixo para responder à QUESTÃO.

 

Divertimento nº2 — Números de Fibonacci.

 

Leonardo de Pisa, também conhecido como Leonardo Fibonacci, foi o primeiro grande matemático da Europa Cristã Medieval. Quando jovem, fez várias viagens pelo Egito, Síria, Grécia e Constantinopla, onde estudou diversos sistemas de numeração. Convencido da superioridade e praticidade do sistema de numeração indo-arábico, publicou em 1202 o Liber Abaci (O Livro do Cálculo”). Nele, Fibonacci apresentou o seguinte problema de geração de coelhos:

 

    “Um casal de filhotes de coelhos, pertencentes a uma raça imortal, foi colocado em um lugar cercado de muros intransponíveis por todos os lados. Sabe-se que, nessa raça, um casal de coelhos maduros gera, a cada mês, um par de filhotes de coelhos, sendo necessários dois meses para que um par de filhotes de coelhos se torne maduro. Dessa forma, quantos casais de coelhos haverá nesse lugar um ano após a chegada do primeiro casal de coelhos?

 

Denote por F_n o número de pares de coelhos n meses após a chegada do primeiro casal de coelhos. Assim,

 

F₀ = 1, F₁ = 1, F₂ = 2, F₃ = 3, F₄ = 5, F₅ = 8, F₆,=13,...

 

Essa sequência de números foi chamada pelo matemático francês Edouard Lucas, no século XIX, de Sequência de Fibonacci. Note que cada número dessa sequência, a partir do terceiro, é a soma dos dois anteriores. Assim, por exemplo, F₂ = F₁ + F₀, F₃ = F₂ + F₁, F₄ = F₃ + F₂, F₅ = F₄ + F₃ etc.

Assinale a alternativa que corresponde à resposta ao problema de geração de coelhos proposto por Fibonacci no Liber Abaci.

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Divertimento nº 1 — A Torre de Hanói

 

    A Torre de Hanói, também conhecida por torre de bramanismo ou quebra-cabeça do fim do mundo, foi inventada e vendida como brinquedo, no ano de 1883, pelo matemático francês Édouard Lucas. O jogo se apresenta em uma base que possui três pinos na posição vertical. No primeiro pino, temos uma sequência de discos (torre) que decrescem em diâmetro, de baixo para cima. O objetivo é passar todos os discos para o último pino com a ajuda do pino central, de modo que, no momento da transferência, um disco de maior diâmetro nunca fique sobre um de diâmetro menor. A figura abaixo mostra uma versão do brinquedo com 10 discos.

http://praticasinclusivas 1 .blogspot.com.br (acesso 27/08/2017)

 

    Consta que Édouard teria sido inspirado por uma lenda Hindu, a qual falava de um templo
em Benares, cidade da Índia, onde existia uma torre sagrada do bramanismo. De acordo com a
lenda, no grande templo de Benares, debaixo da cúpula que marca o centro do mundo, há uma
placa de bronze sobre a qual estão fixados três pinos de diamante. Em um desses pinos, o deus Brahma, no momento da criação do mundo, colocou discos de ouro puro. A atribuição que os monges do templo receberam foi de transferir, do primeiro para o último pino, a torre formada pelos discos, seguindo as regras acima mencionadas. Os monges deveriam trabalhar com eficiência noite e dia e, quando terminassem o trabalho, o templo seria transformado em pó e o mundo acabaria.

 

Considere que os discos a serem movidos pelos monges sejam numerados, desde a base da torre, sequencialmente, a partir do número até que o disco que está no topo da torre seja o de número

Suponha que cada um desses discos seja uma coroa circular, isto é, uma região limitada por duas circunferências de mesmo centro, conforme ilustra a figura a seguir.

A medida do raio da circunferência interna é igual a r metros em todos os discos da torre. Por outro lado, a medida do raio da circunferência externa depende da posição do disco na torre, sendo descrita pela função dada por

 

 

em que R(n) é a medida do raio da circunferencia extrerna, em metros, do disco de numero n, n ∈ {1,2,3,...,64}, e a é um número. Note que r < R(n) para todo n ∈ {1,2,3,...,64}.

Seja D uma função dada por D(n) = 1000(R(n+1) - R(n)), em que ne {1,2,3,...,63).

 

Então, o gráfico cartesiano de D está contido em uma

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Divertimento nº 1 — A Torre de Hanói

 

    A Torre de Hanói, também conhecida por torre de bramanismo ou quebra-cabeça do fim do mundo, foi inventada e vendida como brinquedo, no ano de 1883, pelo matemático francês Édouard Lucas. O jogo se apresenta em uma base que possui três pinos na posição vertical. No primeiro pino, temos uma sequência de discos (torre) que decrescem em diâmetro, de baixo para cima. O objetivo é passar todos os discos para o último pino com a ajuda do pino central, de modo que, no momento da transferência, um disco de maior diâmetro nunca fique sobre um de diâmetro menor. A figura abaixo mostra uma versão do brinquedo com 10 discos.

http://praticasinclusivas 1 .blogspot.com.br (acesso 27/08/2017)

 

    Consta que Édouard teria sido inspirado por uma lenda Hindu, a qual falava de um templo
em Benares, cidade da Índia, onde existia uma torre sagrada do bramanismo. De acordo com a
lenda, no grande templo de Benares, debaixo da cúpula que marca o centro do mundo, há uma
placa de bronze sobre a qual estão fixados três pinos de diamante. Em um desses pinos, o deus Brahma, no momento da criação do mundo, colocou discos de ouro puro. A atribuição que os monges do templo receberam foi de transferir, do primeiro para o último pino, a torre formada pelos discos, seguindo as regras acima mencionadas. Os monges deveriam trabalhar com eficiência noite e dia e, quando terminassem o trabalho, o templo seria transformado em pó e o mundo acabaria.

 

Considere que os discos a serem movidos pelos monges sejam numerados, desde a base da torre, sequencialmente, a partir do número até que o disco que está no topo da torre seja o de número

Suponha que cada um desses discos seja uma coroa circular, isto é, uma região limitada por duas circunferências de mesmo centro, conforme ilustra a figura a seguir.

A medida do raio da circunferência interna é igual a r metros em todos os discos da torre. Por outro lado, a medida do raio da circunferência externa depende da posição do disco na torre, sendo descrita pela função dada por

 

 

em que R(n) é a medida do raio da circunferencia extrerna, em metros, do disco de numero n, n ∈ {1,2,3,...,64}, e a é um número. Note que r < R(n) para todo n ∈ {1,2,3,...,64}.

Suponha que a medida do raio da circunferência externa do disco de número 1 seja de 2,275 metros.

 

Qual é a quantidade total de discos da torre que têm medida do raio da circunferência externa inferior a um metro?

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Divertimento nº 1 — A Torre de Hanói

 

    A Torre de Hanói, também conhecida por torre de bramanismo ou quebra-cabeça do fim do mundo, foi inventada e vendida como brinquedo, no ano de 1883, pelo matemático francês Édouard Lucas. O jogo se apresenta em uma base que possui três pinos na posição vertical. No primeiro pino, temos uma sequência de discos (torre) que decrescem em diâmetro, de baixo para cima. O objetivo é passar todos os discos para o último pino com a ajuda do pino central, de modo que, no momento da transferência, um disco de maior diâmetro nunca fique sobre um de diâmetro menor. A figura abaixo mostra uma versão do brinquedo com 10 discos.

http://praticasinclusivas 1 .blogspot.com.br (acesso 27/08/2017)

 

    Consta que Édouard teria sido inspirado por uma lenda Hindu, a qual falava de um templo
em Benares, cidade da Índia, onde existia uma torre sagrada do bramanismo. De acordo com a
lenda, no grande templo de Benares, debaixo da cúpula que marca o centro do mundo, há uma
placa de bronze sobre a qual estão fixados três pinos de diamante. Em um desses pinos, o deus Brahma, no momento da criação do mundo, colocou discos de ouro puro. A atribuição que os monges do templo receberam foi de transferir, do primeiro para o último pino, a torre formada pelos discos, seguindo as regras acima mencionadas. Os monges deveriam trabalhar com eficiência noite e dia e, quando terminassem o trabalho, o templo seria transformado em pó e o mundo acabaria.

 

Considere que os discos a serem movidos pelos monges sejam numerados, desde a base da torre, sequencialmente, a partir do número até que o disco que está no topo da torre seja o de número

Suponha que cada um desses discos seja uma coroa circular, isto é, uma região limitada por duas circunferências de mesmo centro, conforme ilustra a figura a seguir.

A medida do raio da circunferência interna é igual a r metros em todos os discos da torre. Por outro lado, a medida do raio da circunferência externa depende da posição do disco na torre, sendo descrita pela função dada por

 

 

em que R(n) é a medida do raio da circunferencia extrerna, em metros, do disco de numero n, n ∈ {1,2,3,...,64}, e a é um número. Note que r < R(n) para todo n ∈ {1,2,3,...,64}.

Se r for igual 0,4, qual das alternativas abaixo apresenta um valor possível para a ?

Considere uma região circular de centro O. Sabe-se que o segmento AB é tangente à circunferência no ponto A e que o triângulo AOB é retângulo em A.

Sabendo que C é o ponto de intersecção da hipotenusa OB com a circunferência, e que CB = 6 cm, é correto afirmar que o diâmetro dessa região circular é igual, em centímetros, a:

Para a elaboração de um cartaz, foi utilizada uma folha de cartolina retangular (FC), da qual foi recortada uma região quadrada (Q) de lado y, conforme mostra a figura.

Após o recorte da região Q, o perímetro da folha de cartolina pode ser corretamente expresso por: