Questões de EFAF Matemática

Considere que as tabelas abaixo são quadrados mágicos em que a, b,c d, e, f, x e y são números inteiros.

(Quadrado Mágico 1)

(Quadrado Mágico 2)

Assinale a alternativa que corresponde ao valor da diferença x - y.

Leia o texto abaixo para responder à QUESTÃO.

Divertimento nº 3 — Quadrados Mágicos.

    O problema do quadrado mágico consiste em posicionar números inteiros numa tabela, de forma que as somas, em cada linha, cada coluna e cada uma das duas diagonais principais sejam iguais. Essa soma é denominada soma mágica. Por exemplo, a tabela a seguir é um quadrado mágico em que a soma mágica é 9.

Dizemos que um quadrado mágico é de ordem n quando ele tem n linhas e n colunas. Um quadrado mágico de ordem n formado por todos os números inteiros de 1 até nº é denominado quadrado mágico normal. Nesse sentido, a tabela abaixo é um quadrado mágico normal de ordem 3 com soma mágica igual a 15.

Pode-se mostrar que, em todo quadrado mágico de ordem 3, o elemento que está na 2º linha e na 2º coluna é um terço da soma mágica.

 

    O quadrado mágico normal de ordem 3 acima já era conhecido na China por volta do ano 3000 a.C. Diz uma lenda que ele foi visto pela primeira vez nas costas de uma tartaruga que emergia do rio Lo.

 

    Um quadrado mágico de ordem 4 aparece, por exemplo, na gravura Melancholia I, feita pelo pintor alemão Albrecht Diirer em 1514.

http://mostramat.blogspot.com.br (acesso 27/08/2017)

Considere que a tabela abaixo é um quadrado mágico. Nela, alguns valores foram omitidos e, além disso, m e n são inteiros positivos.

Se a soma mágica desse quadrado é igual a 42, então m+n é igual a

No triângulo ADG acima, os ângulos GÂD, e são retos. Além disso, as medidas dos segmentos AG, AB, BC e CD medem, em cm, respectivamente, r², r² r e r², lembrando que r é uma das raízes da equação x² = x+1.

 

Dessa forma, a soma das medidas, em cm, dos segmentos BF e CE é igual a

Considere uma sequência de números dada pela fórmula

 

para todo n natural.

 

Então, é igual a

Leia o texto abaixo para responder à QUESTÃO.

 

    Em meados do século XIX, o matemático francês Jacques Phillipe Marie Binet redescobriu uma fórmula que, aparentemente, era conhecida no século XVIII pelo matemático Leonhard Euler e pelo matemático francês Abraham de Moivre Ele mostrou que cada número F da Sequência de Fibonacci pode ser obtido por meio da fórmula

 

 

em que r e s(r > s)são as raízes da equação

É correto afirmar que

Leia o texto abaixo para responder à QUESTÃO.

 

Divertimento nº2 — Números de Fibonacci.

 

Leonardo de Pisa, também conhecido como Leonardo Fibonacci, foi o primeiro grande matemático da Europa Cristã Medieval. Quando jovem, fez várias viagens pelo Egito, Síria, Grécia e Constantinopla, onde estudou diversos sistemas de numeração. Convencido da superioridade e praticidade do sistema de numeração indo-arábico, publicou em 1202 o Liber Abaci (O Livro do Cálculo”). Nele, Fibonacci apresentou o seguinte problema de geração de coelhos:

 

    “Um casal de filhotes de coelhos, pertencentes a uma raça imortal, foi colocado em um lugar cercado de muros intransponíveis por todos os lados. Sabe-se que, nessa raça, um casal de coelhos maduros gera, a cada mês, um par de filhotes de coelhos, sendo necessários dois meses para que um par de filhotes de coelhos se torne maduro. Dessa forma, quantos casais de coelhos haverá nesse lugar um ano após a chegada do primeiro casal de coelhos?

 

Denote por F_n o número de pares de coelhos n meses após a chegada do primeiro casal de coelhos. Assim,

 

F₀ = 1, F₁ = 1, F₂ = 2, F₃ = 3, F₄ = 5, F₅ = 8, F₆,=13,...

 

Essa sequência de números foi chamada pelo matemático francês Edouard Lucas, no século XIX, de Sequência de Fibonacci. Note que cada número dessa sequência, a partir do terceiro, é a soma dos dois anteriores. Assim, por exemplo, F₂ = F₁ + F₀, F₃ = F₂ + F₁, F₄ = F₃ + F₂, F₅ = F₄ + F₃ etc.

Sejam x = F_n · F_n+1, y = 2 · F_n+1 · F_n+2 e z = (F_n+1)² + (F_n+2)², em que F_n, F_n+1, F_n+2 e F_n+3 (n natural) são quatro números consecutivos da Sequência de Fibonacci. Pode-se mostrar que o triângulo cujos lados têm medidas, em cm, iguais a x, y e z é retângulo.

 

Em relação aos lados desse triângulo, é correto afirmar que a hipotenusa tem medida, em cm, igual a