Questões de EFAF Matemática

Conforme a figura abaixo, o ponto A representa o número na reta real, e J representa o número

Então, o ponto que corresponde a  é

O texto a seguir serve de base para a QUESTÃO.

 

Divertimento nº 5 - As coordenadas do tesouro.

 

    Em 1947, o físico americano George Gamov publicou um dos mais famosos livros de matemática recreativa: One, Two, Three...Infinity. Nesse livro, aparece um dos mais conhecidos problemas envolvendo coordenadas cartesianas em uma brincadeira de caça ao tesouro: Um jovem aventureiro encontra um pergaminho em que há instruções para encontrar um tesouro. Esse problema foi reproduzido em diversos outros livros e formatos. A seguir, baseado no problema de Gamov, apresentamos uma versão de caça ao tesouro em um plano cartesiano. 

    Quando aportou em uma ilha, um pirata encontrou, dentro de uma garrafa, o seguinte mapa:

    Suponha que o pirata tenha encontrado o enorme coqueiro e seguido as instruções dadas no mapa. A figura abaixo é uma representação, no plano cartesiano, da trajetória seguida pelo pirata até encontrar o baú de pedras preciosas.

    Nessa representação, o ponto P₀ corresponde ao enorme coqueiro descrito no mapa e é a origem do plano cartesiano. Além disso, o ponto P₁ corresponde à posição do pirata imediatamente após a execução da 1ª etapa; o ponto P₂ à posição do pirata imediatamente após a execução da 2ª etapa; e, de modo geral, o ponto P_n, à posição do pirata imediatamente após a execução da n-ésima etapa, em que n é um número natural.

Ao seguir as instruções dadas no mapa, o pirata percorreu, do enorme coqueiro até a posição em que está enterrado o baú de pedras preciosas, um trajeto de comprimento, em metros,

 

Sugestão: use que   para todo número n natural.

Considere as informações dadas na descrição do método de Buffon e leia o texto abaixo para responder à QUESTÃO. O texto diz respeito à posição da agulha depois que ela é lançada no plano horizontal.

 

    Sejam A e B as extremidades da agulha e seja C o seu ponto médio. Suponha que r seja a reta do feixe de paralelas que está mais próxima de C, depois que a agulha toca o plano e atinge o repouso. Seja t a reta que passa por C e é paralela a r. Além disso, suponha que a agulha não seja perpendicular e nem paralela à reta f. Seja θ, 0 < θ < 90º, o ângulo que a agulha faz com a reta te seja x a distância do ponto C à reta r.

 

A figura abaixo representa uma das configurações que se enquadra na situação descrita acima.

A fim de que a agulha não intersecte a reta r, deve-se ter, necessariamente,

Considere as informações dadas na descrição do método de Buffon e leia o texto abaixo para responder à QUESTÃO. O texto diz respeito à posição da agulha depois que ela é lançada no plano horizontal.

 

    Sejam A e B as extremidades da agulha e seja C o seu ponto médio. Suponha que r seja a reta do feixe de paralelas que está mais próxima de C, depois que a agulha toca o plano e atinge o repouso. Seja t a reta que passa por C e é paralela a r. Além disso, suponha que a agulha não seja perpendicular e nem paralela à reta f. Seja θ, 0 < θ < 90º, o ângulo que a agulha faz com a reta te seja x a distância do ponto C à reta r.

 

A figura abaixo representa uma das configurações que se enquadra na situação descrita acima.

Se a medida de 6 for igual a 30º, então a distância do ponto A à reta t é igual a

Leia o texto abaixo para responder à QUESTÃO.

http:/Awww.invata-mate.info/history/photos/Buffon 5.jpeg (acesso 27/08/2017)

    Em 1777, Georges Louis Leclerc, Conde de Buffon, concebeu o seguinte método estatístico que permite obter uma aproximação para o número π:

 

1) Em um plano horizontal, trace um feixe de retas paralelas igualmente espaçadas (conforme ilustra a figura acima) e denote por d a menor distância entre duas retas (distintas) desse feixe.
2) Realize n lançamentos, ao acaso, de uma agulha de comprimento ℓ < d sobre o plano.
3) Contabilize o número de vezes em que a agulha intersecta uma das retas do feixe depois de atingir o repouso. Denote por k esse número.

 

Buffon mostrou que, para valores suficientemente grandes de n, uma aproximação para o número π é dada pela expressão

 

2ℓn/dk.

 

O melhor resultado por esse método foi obtido, em 1901, pelo italiano Lazzerini. Com 3408 lançamentos de uma agulha, ele obteve π corretamente até a sexta casa decimal.

Suponha que, nos 3408 lançamentos realizados por Lazzerini, a razão d/ℓ seja igual a 10848/355. 

 

Além disso, considere que ele tenha obtido como aproximação para π o número 355/113.

 

Tem-se, dessa forma,

Leia o texto abaixo para responder à QUESTÃO

Divertimento nº 4 — As agulhas de Buffon

    É um fato bem conhecido, desde a antiguidade, que a razão entre a circunferência e o diâmetro de um círculo, qualquer que seja o seu raio, tem valor constante. Esse valor é representado pela letra grega π.

O fascínio pelo x e a determinação do seu valor têm acompanhado a matemática ao longo da sua história. São apresentados, a seguir, alguns valores que foram dados para esse número ao longo do tempo.

 

 (hebreus);

 (egípcios);

 (babilônios);

 (chineses).

 

No entanto, em o matemático suíço Johann Heinrich Lambert demonstrou que π é um número irracional.

Sejam, respectivamente, C e d a medida da circunferência e a medida do diâmetro, em cm, de um círculo.

 

É correto afirmar que se