Questões de EFAF Matemática - Sistemas de numeração

O jogo Sudoku é um quebra-cabeça baseado na colocação lógica de números. Foi projetado, no século XVIII, pelo arquiteto Howard Garns, baseando-se, provavelmente, no quadrado latino do matemático suíço Leonard Euler. Hoje, existem inúmeras variações do Sudoku original, uma delas, conhecida como mini sudoku, consiste numa grade 4 × 4, dividida em regiões 2 × 2. O objetivo desse jogo está em preencher todos os espaços utilizando números naturais de 1 a 4. No preenchimento da grade 4 × 4, não pode haver números repetidos, nem nas linhas, nem nas colunas, assim como não poderá haver também números repetidos nas regiões 2 × 2. Sabendo que o número x satisfaz a equação 2x² - 12x + 10 = 0 e que y e z são números naturais obtidos no preenchimento do mini sudoku.

Qual é o valor da expressão y² - z²?

Juca gosta de brincar com um número e a soma dos seus dígitos. Ele decidiu chamar um número inteiro s de sagaz se existe algum número n tal que s é a diferença entre n e a soma dos dígitos de n. Por exemplo, 18 é sagaz, pois ele é 28 − (2 + 8).

Existem quantos números sagazes maiores que 1 e menores que 1000?

O ano de 2016 é sabadoso, pois há cinco meses com cinco sábados.

Qual será o próximo ano sabadoso?

Num país imaginário, vivem somente duas espécies de pessoas: os honestos, que sempre dizem a verdade e os mentirosos, que só dizem mentira. Numa fila de 2016 pessoas da ilha, o primeiro da fila diz que todos atrás dele são mentirosos e todas as demais pessoas da fila dizem que quem está à sua frente é mentiroso.

Quantas pessoas mentirosas estão nessa fila?

Numa maratona com 2016 participantes, o número de corredores que chegaram antes de Josias foi igual a um quarto do número de corredores que chegaram depois de Josias.

Em que lugar chegou Josias?

Qual é o valor da expressão (2016² - 1)/2015 ?