Questões de EFAF Matemática - Sistemas de numeração

“Quem nunca brincou de preencher um quadrado mágico? - aquele em que você tentava dispor vários números de forma que a soma fosse a mesma nas diagonais do quadrado, nas linhas e também nas colunas.”

FONTE: Revista do Professor de Matemática – RPM 59

João utiliza os algarismos 1,2,3,4,5,6,7,8 e 9 para preencher o quadrado mágico 3x3 representado na figura 1.

A letra X representa o algarismo:

“Ao longo de junho em Doha, capital do Catar, a duração do dia permanece basicamente constante. (...) Como referência, em 21 de junho, o dia mais longo do ano, nesta cidade, o sol nasce às 04 horas e 44 minutos e se põe às 18 horas e 27 minutos, enquanto em 21 de dezembro, o dia mais curto do ano, o sol nasce às 06 horas e 14 minutos e se põe 10 horas e 34 minutos depois, às 16 horas e 48 minutos.”

Adaptado de: https://pt.weatherspark.com/m/105083/6/Condi%C3%A7%C3%B5es-meteorol%C3%B3gicas caracter%C3%ADsticas-de-Doha-Catar-em-junho#. Acesso em 31 de julho de 2022. Adaptada.

Com base nas informações acima, em Doha, a duração do dia mais longo do ano, em minutos, é:

Considere 𝑥 inteiro, 1 ≤ 𝑥 ≤ 100, de modo que: i) 𝑥 não é múltiplo de 2; ii) 𝑥 não é múltiplo de 3; iii) 𝑥 não é múltiplo de 5; iv) 𝑥 não é múltiplo de 7; v) 𝑥 não é múltiplo de 11.

Portanto, a soma de todos os possíveis valores de 𝑥 é:

Seja 𝑁 = 15⁸ ∙ 56⁵ ∙ 65⁶.

Portanto, o número 𝑁 termina com:

Um grupo de 𝑁 atletas de corrida de rua recebeu um prêmio de 5400 reais e decidiram que, no dia seguinte, essa quantia deveria ser dividida igualmente entre eles. No dia da divisão do prêmio, dezoito desses atletas desistiram de suas quantias e, portanto, cada um dos demais atletas recebeu 80 reais a mais.

Quantos divisores positivos tem o número 𝑁?

Dados os números reais  𝑎 = 13/21, 𝑏 = 12/17 e 𝑐 = 7/11, é verdade que: