Questões de EFAF Matemática - Sistemas de numeração

Seja {a_n} uma seqüência na qual cada termo é definido como o dobro da soma dos algarismos do termo anterior, mais uma unidade. Por exemplo, se a_n = 234, então a_n+1 = 2(2 + 3 + 4) +1.

Se, a₁ = 1 o valor de a₃₁ + a₃₂ + a₃₃ + a₃₄ + a₃₅ é igual a:

O máximo divisor comum entre os números 1221, 2332, 3443, 4554,........, 8998 é:

Uma avenida possui 100 prédios numerados de 1 a 100, onde prédios com numeração par se situam do lado direito da rua e prédios com numeração ímpar se situam no lado esquerdo. A quantidade de andares de cada prédio é igual à soma dos algarismos do número correspondente ao prédio.

Assim, podemos afirmar que:

Dizemos que um natural X é um repunit quando os seus algarismos são todos iguais a 1, ou seja,
quando X é da forma 11...1. Sejam p, q e r inteiros, p > 0 , tais que pX² + qX + r é um repunit sempre que X é um repunit.

Qual dos valores a seguir é um possível valor de q?

Dizemos que uma palavra Q é quase-anagrama de outra palavra P quando Q pode ser obtida retirando-se uma letra de P e trocando a ordem das letras restantes, resultando em uma palavra com uma letra a menos do que P. Um quase-anagrama pode ter sentido em algum idioma ou não. Por exemplo, RARO, RACR e ARCO são quase-anagramas de CARRO.

Quantos são os quase-anagramas da palavra BACANA que começam com A?

Um episódio muito conhecido na Matemática foi quando ao visitar o grande matemático Ramanujam no hospital, o outro grande matemático Hardy disse que o número do táxi que o trouxe, 1729, era um número sem graça; Ramanujam respondeu prontamente: “Não diga isso, Hardy! 1729 é o menor número inteiro positivo que pode ser escrito como soma de dois cubos perfeitos positivos de duas maneiras diferentes!” De fato, 1729 = 10³ + 9³ = 12³ + 1³.

Um outro episódio não muito conhecido na Matemática foi quando o pequeno matemático Muralijam foi visitado pelo outro pequeno matemático Softy, que disse que o número do lotação que o trouxe era um número sem graça. Muralijam responde imediatamente: “Não, Softy, ele é o menor inteiro positivo que pode ser escrito como soma de dois quadrados perfeitos positivos de duas maneiras diferentes!”

A que número Muralijam e Softy se referem?