Questões de EFAF Matemática

A segunda fase da OBMEP em 2019 será realizada na Universidade Federal de Santa Maria no dia 28 de setembro do corrente ano. Um problema instigante e desafiador de geometria foi apresentado aos alunos do CMSM durante a preparação, segundo a figura 1 a seguir.

Figura 1: Desafio de Geometria

Fonte: CMSM

Sabe-se que:

a. Dadas duas retas paralelas cortadas por uma transversal, os ângulos alternos internos são iguais, ou seja, se r// s então α=β 

Figura 2: Paralelismo de retas

Fonte: CMSM

b. Na figura 11:

1) a distância AC = 1 cm;

2) o ângulo FCB = γ;

3) o ângulo ACB =  θ;

4) o triângulo ABC é retângulo em B;

5) o quadrilátero FCED é um retângulo, ou seja, todos os ângulos internos são iguais a 90° e os lados opostos são paralelos e iguais.

Considerando o triângulo AFC e os ângulos γ e  θ dados na figura 1 acima, determine o comprimento do segmento AF.

A figura seguinte apresenta os possíveis trajetos que um determinado aluno poderá percorrer de sua casa (ponto A) até o local onde será realizada a prova da 2ª fase da OBMEP em 2019 (ponto B).

Figura 1: Trajeto para realização da prova da OBMEP

Fonte: CMSM

Sabe-se que as retas transversais aos segmentos AB e AC são retas paralelas entre si. O percurso escolhido pelo aluno para deslocar-se de casa até o local da prova foi todo ele sobre a reta r, do vértice A ao vértice B.

De posse dessas informações, calcule a distância a ser percorrida pelo aluno de sua casa até o local da prova.

  O Comandante e Diretor de Ensino do CMSM, todo final de mês, reúne os integrantes do Colégio Militar para cumprimentar os aniversariantes do mês. No dia 22 de agosto do corrente, ele parabenizou uma professora de Português que nasceu no dia 15 de agosto de 1965.

    Uma outra rotina do Comandante é almoçar com os alunos das diversas séries uma vez por semana. Nesse mesmo dia, 27 de agosto, em um almoço com os alunos do sexto ano, ele cumprimentou um aluno aniversariante do mês, que nasceu no dia 15 de agosto de 2007.

Da análise das informações acima, há quantos anos a idade da referida professora de Português era o quadrado da idade do citado aluno do sexto ano?

Durante a preparação para os jogos da amizade em , o treinador de futebol do CMSM resolveu treinar passe com precisão. Ele posicionou um atleta próximo ao meio-campo (ponto P) e outros quatro atletas na extremidade do campo (pontos A, B, C e D), conforme figura  a seguir.

Sabe-se que:

a. a distância do atleta localizado no ponto P para o atleta posicionado no ponto A é de ;

b. a distância do atleta localizado no ponto P para o atleta posicionado no ponto B é de ;

c. distância do atleta localizado no ponto P para o atleta posicionado no ponto C é de ; e

d. a figura ABCD é um retângulo, ou seja, todos os ângulos internos são iguais a ° e seus lados opostos são paralelos entre si e iguais.

Figura : Treinamento de passe com precisão.

Fonte: CMSM

Da análise dos dados acima, calcule a distância do atleta localizado no ponto P para o atleta localizado no ponto D.

    Em julho do corrente ano, o Colégio Militar de Santa Maria (CMSM) deslocou-se para cidade de Resende - RJ para participar do XIV Jogos da Amizade, evento que reúne os treze Colégios Militares de todo Brasil para inúmeras competições esportivas e que tem como objetivo principal desenvolver o espírito de união, de congraçamento e de camaradagem entre as delegações.

    Um dos eventos que espelha esse espírito é a apresentação artístico-cultural das delegações. Antes de iniciarem sua apresentação, os alunos da equipe do CMSM abraçaram individualmente todos os outros integrantes. O mesmo gesto se repetiu ao final da apresentação.

Figura 1: Apresentação Artístico - Cultural do CMSM-Jogos da Amizade 2019

Fonte:http://www.cmsm.eb.mil.br/index.php/component/content/article?id=999&

Na hora da premiação, 5 (cinco) alunos deixaram de subir ao palco. Antes de receber os cumprimentos e a premiação das mãos do Comandante do CMSM pela bela apresentação, cada aluno que subiu ao palco apertou a mão de todos os outros que subiram ao palco, repetindo o gesto após a premiação.

Sabe-se que o número de abraços somados ao número de apertos de mão totalizaram 1470 gestos.

De posse das informações acima, calcule quantos apertos de mão foram realizados pela equipe artístico-cultural do CMSM.

Ao se multiplicar um número x por oito, e soma-lo pelo dobro de um número y, obtém-se 64. Se multiplicarmos quatro pelo quadrado do número x e somarmos com o dobro do produto do número x pelo número y, obtém-se 192.

Qual o maior valor de y encontrado?