Questões de EFAF Matemática

Um mastro vertical de base O e topo P encontra-se fixo sobre solo horizontal. Uma das extremidades de um cabo inextensível, com de comprimento, está preso em P. Esse cabo é esticado de modo que a outra extremidade toque o solo em A. A extremidade inferior do cabo é deslocada sobre a circunferência de raio AO até chegar ao ponto B.

Se o ângulo AOB vale 90° e o segmento AB mede  então a altura do mastro é

Um jardim tem forma de retângulo com 12,5 m de comprimento e 10,4 m de largura. Um paisagista pretende alterar as medidas do jardim, reduzindo a largura e aumentando o comprimento, mas sem modificar seu formato retangular. O
valor da alteração no comprimento deve ser o dobro da alteração na largura.

Para que a área desse jardim valha, no mínimo, 135,85 m², o seu comprimento deve estar entre

A figura a seguir ilustra uma mesa retangular, plana e horizontal – vista de cima –, sobre a qual estão as bolas A, B e C. Uma pessoa precisa lançar a bola A contra a bola C sem tocar a bola B. Para isso, fará com que a bola A siga uma trajetória retilínea, chocando-se contra a lateral da mesa num ponto P. Após o choque, a bola A permanecerá em trajetória retilínea até se chocar com a bola C.

Sabe-se que:

- as linhas imaginárias AM e CN são perpendiculares à lateral da mesa;
- AM = 65 cm;
- CN = 39 cm;
- MN = 128 cm;
- os ângulos formados pela trajetória da bola e a lateral da mesa são iguais antes e depois do choque.

Nessas condições, a medida de PN é

A figura ilustra um conjunto formado por duas barras rígidas unidas por uma articulação. A maior delas mede metros, e a menor, metros. As barras formam e com a horizontal.

Seja H a altura da parte mais alta do conjunto com relação à horizontal que passa pela parte mais baixa do conjunto.

Desprezando-se a espessura das barras, pode-se dizer que H vale

Leia o fragmento de texto a seguir: 

[...] E o principe Cluzir Schá narrou o seguinte: 

- Um navio que voltava de Serendibe (nome antigo de Ceilão, atual Sri Lanka), trazendo grande quantidade
de especiarias, foi atingido por violenta tempestade. A embarcação teria sido destruída pela fúria das ondas,
se não fosse a bravura e o esforço de três marinheiros que, no meio da tormenta, manejaram as velas com
extrema perícia. O comandante, querendo recompensar os valentes marujos, deu-lhes 241 catis (Catil,
moeda; unidade de peso). As moedas foram colocadas em uma caixa, para que no dia seguinte, por ocasião
do desembarque, o almoxarife as repartisse entre os três corajosos marinheiros, Aconteceu, porém, que
durante a noite, um dos marinheiros acordou, lembrou-se das moedas e pensou: “Será melhor que eu tire a
minha parte, Assim não terei ocasião de discutir ou brigar com os meus amigos”. E, sem nada dizer aos
companheiros, foi, pé ante pé, até onde se achava guardado o dinheiro. Dividiu-o em três partes iguais, mas
notou que a divisão não era exata e que sobrava um catil, “Por causa dessa mísera moedinha é capaz de
haver, amanhã, discussão e rixa. O melhor é jogá-la fora” E o marinheiro atirou a moeda ao mar, retirando-
se, cauteloso. Levava a sua parte e deixava no mesmo lugar a que cabia aos companheiros. Horas depois, o
segundo marinheiro teve a mesma ideia. Foi à arca em que se depositara o prêmio coletivo e divídiu-o em
três partes iguais. Sobrava uma moeda. Ao marujo, para evitar futuras dúvidas, veio à lembrança atirá-la ao
mar. E dali voltou levando consigo a parte a que se julgava com direito. O terceiro marinheiro, ignorando a
antecipação dos colegas por completo, teve a mesma iniciativa. Levantou-se de madrugada e foi, pé ante pé,
à caixa dos catis. Dividiu as moedas que lá encontrou em três partes iguais; a divisão não foi exata. Sobrou um
catil. Não querendo complicar o caso, o marujo atirou ao mar a moedinha excedente, retirou a terça parte
para si e voltou tranquilo para o seu leito, No dia seguinte, na ocasião do desembarque, o almoxarife do
navio encontrou um punhado de catis na caixa. Soube que essas moedas pertenciam aos três marinheiros.
Dividiu-as em três partes iguais, dando a cada um dos marujos uma dessas partes. Ainda dessa vez, a divisão
não foi exata. Sobrava uma moeda, que o almoxarife guardou como paga do seu trabalho e de sua habilidade.
É claro que nenhum dos marinheiros reclamou, pois cada um deles estava convencido de que já havia
retirado da caixa a parte que lhe cabia do dinheiro.

Adaptado de: TAHAN, Malba. O homem que calculava. 3a ed. Rio de Janeiro: Record, 2017 – Problema 19: O problema dos marinheiros, pp. 141-145.

Com base no texto, qual seria a diferença entre a quantidade de moedas do primeiro marujo para o terceiro
marujo?

Marin Mersenne (1588 — 1648) foi um monge francês que tinha muito interesse pela ciência. Nos dias atuais, ele é lembrado principalmente pelos números primos de Mersenne. Esses números podem ser escritos da forma 2ⁿ - 1  em que  é um número natural. O número 7, por exemplo, é um número primo de Mersenne, pois pode ser escrito como 2³ - 1. O número 11, apesar de ser primo, não é um primo de
Mersenne, pois não há um número natural p, tal que 2^p - 1 = 11. Já o número 15, pode ser escrito como 2⁴ - 1, mas não é um número primo de Mersenne, por não ser primo.

Atualmente, há apenas 51 números primos de Mersenne descobertos, sendo que o último corresponde a  = 82.589.933 e tem 24.862.048 algarismos. Essa última descoberta ocorreu em 7 de dezembro de 2018, por Patrick Laroche, profissional de TI (Tecnologia da Informação) que trabalha na Flórida, Estados Unidos.

Com base nas informações anteriores, quantos números primos de Mersenne existem entre 1 e 10.000?