Questões de EFAF Matemática - Sistemas de numeração

Um vagão de um trem de carga tem a seguinte capacidade: ou carrega 400 sacos de trigo, ou carrega 3 200 caixas de sapato.

Se dentro desse vagão já estão 256 sacos de trigo, então ainda há espaço suficiente para uma quantidade de caixas de sapato igual a

Seja  em que aparecem  números . Agilulfo ficou de castigo: ele deve escrever a soma dos dígitos de N, obtendo um número M; em seguida, deve calcular a soma dos dígitos de M; e deve repetir o procedimento até obter um número de um único dígito.

Vamos ajudar Agilulfo: esse dígito é

Para cada número natural n, seja S_n a soma dos dez primeiros múltiplos positivos de n. Por exemplo, S₂ = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18 + 20.

Quanto é S₁ + S₂ + S₃ + ... + S₁₀ ?

Um subconjunto de {1,2,3,...,20} é superpar quando quaisquer dois de seus elementos têm produto par.

A maior quantidade de elementos de um subconjunto superpar é:

A famosa Conjectura de Goldbach diz que todo número inteiro par maior que 2 pode ser escrito como a soma de dois números primos. Por exemplo, 18 pode ser representado por 5 + 13 ou, ainda, por 7 + 11.

Considerando todas as possíveis representações de 126, qual a maior diferença entre os dois primos que a formam?

O professor Piraldo aplicou uma prova de 6 questões para 18 estudantes. Cada questão vale 0 ou 1 ponto; não há pontuações parciais. Após a prova, Piraldo elaborou uma tabela como a seguinte para organizar as notas, em que cada linha representa um estudante e cada coluna representa uma questão.

Piraldo constatou que cada estudante acertou exatamente 4 questões e que cada questão teve a mesma quantidade m de acertos.

Qual é o valor de m?