Questões de EFAF Matemática

Com o avanço da tecnologia, diversos tipos de manipuladores robóticos que permitem emular o braço humano surgiram para atender aos mais diversos processos industriais. Os manipuladores são compostos por juntas, elos e punhos.

Um dos fatores mais importantes para determinar as características de um manipulador robótico industrial é definir o número de graus de liberdade, pois este fator determina a quantidade e os tipos de movimentos que o manipulador será capaz de executar. Além disso, a complexidade de controlar um manipulador está diretamente ligada à quantidade de graus de liberdade, já que quanto maior o grau de liberdade, mais difícil é o seu controle. O braço do manipulador robótico é a parte que está ligada diretamente ao posicionamento no espaço físico cartesiano, ou operacional. A descrição cinemática completa de uma cadeia articulada pode ser obtida a partir do produto matricial entre as diversas matrizes de transformações.

Seja T pertencente ao domínio de R3 representada pela equação:

E a matriz que ilustra a base canônica, onde cada linha representa um ponto, dada por:

Determine a matriz de transformação linear na base canônica, sabendo que para obtê-la é necessário multiplicar a equação T pela base.

Ainda com base nos dados da questão anterior, se cada pulso fosse equivalente a 1 cm que o robô andou e não houvessem erros associados às informações fornecidas pelos sistema de odometria, qual seria a área total da  gura desenhada?

Uma das principais formas para determinar a localização de um robô no espaço é utilizando um sistema de odometria, visto que sua implementação é barata e permite altas taxas de amostragem. Entretanto, por utilizar vários contadores incrementais, baseados em pulsos, conectados ao eixo do motor, o sistema pode acumular erros de contagem caso a velocidade seja muito baixa ou exista um problema eletrônico. Esses fatores aumentam a possibilidade de erros no cálculo da posição do robô. Para evitar o acúmulo de erro e otimizar o cálculo, uma estratégia muito utilizada é o reinício do sistema após cada movimentação que o utiliza.

Um robô móvel, que possui 2 motores com rodas de 5 cm de raio em seus eixos e 1 roda boba na parte traseira, faz uso de um sistema de odometria com dois contadores incrementais iguais conectados ao eixo de cada motor.
Cada contador conta 100 pulsos/revolução e assume valores positivos quando o robô se locomove para frente e valores negativos quando se locomove para trás. O erro associado ao sistema é de 1% da contagem de pulsos, sempre para mais em relação ao valor base, dessa forma a cada 100 pulsos teremos apenas 99% de uma rotação executada. Ao ser posicionado na origem de um plano cartesiano, este robô recebeu do programador as seguintes instruções:

1. Andar para frente 300 pulsos
2. Reinício da odometria
3. Girar 135o no sentido horário (não contado pelo sistema de odometria)
4. Andar para frente 500 pulsos
5. Reinício da odometria
6. Girar 135o no sentido horário (não contado pelo sistema de odometria)
7. Andar para frente 400 pulsos

No fim do processo, qual o comprimento da trajetória total percorrida pelo robô? (Utilize π = 3.14)

Robôs da categoria Small Size Soccer da RoboCup geralmente possuem um dispositivo para realizar um chute parabólico (chip-kick) durante o jogo. O intuito desse dispositivo é possibilitar que seja realizada uma jogada onde a bola passa por cima dos seus oponentes, chegando sem interferência no companheiro de time.

Desprezando a resistência do ar, e sabendo que uma bola foi lançada inicialmente a uma velocidade de 6 m/s com um ângulo de 30° em relação ao chão, qual é o alcance final da bola? (Sen 60° = 0.87, Sen 30°= 0.5, Cos 30° = 0.87, g = 10)

Na figura (a) é apresentada uma mola de constante K, que tem presa em sua extremidade um bloco de massa M. Esse sistema oscila em uma superfície lisa sem atrito com amplitude A, e a mola se encontra relaxada no ponto 0. Em um certo instante, quando a massa M se encontra na posição A, um bloco de massa m e velocidade v se choca com ela, permanecendo grudadas (figura (b)).

Determine a nova amplitude de oscilação A’ do sistema massa- mola.

A barra indicada na figura, presa de forma articulada ao teto, é composta por dois segmentos. O primeiro segmento AB possui 4 kg de massa e 10 m de comprimento. Já o segundo BC possui 2 kg de massa e 2 m de comprimento. Sobre a extremidade da barra, atua uma força horizontal para a direita, com intensidade de 35 N.

Se a barra está em repouso, a tangente do ângulo θ que ela faz com a vertical vale