Questões de EFAF Matemática

Fig. 1: Mona Lisa e proporções áureas

A “Divina Proporção” também conhecida como proporção áurea foi usada por Leonardo da Vinci para pintar a Mona Lisa, uma de suas mais notáveis obras. Em vários pontos do quadro aparece o retângulo áureo, como ilustrado na figura 1.

Fig. 2: Retângulos áureos

Na fig. 2 os quadriláteros $ABDF,CDFH,EFHJ,GHJL,IJLN,KLNO$ são retângulos áureos semelhantes e os quadriláteros $ABCH,CDEJ,EFGL,GHIN,IJKO$ e $KLMP$ são quadrados.

Sabendo-se que a razão entre o maior lado e o menor lado do retângulo áureo é igual ao número de ouro $\phi$, pode-se afirmar que a razão entre a área do quadrado $KLMP$ e a área do quadrado $ABCH$ é igual a:

Sobre o sistema

$$\{\begin{array}{c}x+y=2\hfill \\ \hfill \\ 3x+(a^2-1)y=a+4\hfill \end{array}$$

Foram feitas as seguintes afirmações:

O sistema possui solução somente se $a=-1$ ou $a=1$.

Se $a\ne 2$ e $a\ne -2$, o sistema possui uma única solução.

Se $a=-2$, o sistema admite a representação geométrica abaixo.

Então:

Um jogo de perguntas obedece às seguintes regras: a cada pergunta não respondida perde-se $1$ ponto; a cada pergunta respondida corretamente ganham-se $6$ pontos e respondida de forma errada perdem-se $2$ pontos. Ao participar desse jogo, Carlos acumulou $52$ pontos, sendo que lhe foram feitas $24$ perguntas.

Sabendo que o número de perguntas respondidas por Carlos é cinco vezes o número de perguntas que ele não respondeu, pode-se afirmar que:

Uma escola elaborou um relatório com o levantamento das idades de seus alunos matriculados no ensino médio. Constatou-se que a média aritmética das idades destes alunos é $16,6$ anos. Por distração de um funcionário, o relatório foi cortado, sobrando somente a parte abaixo.

$$\mathbf{\text{𝐌é𝐝𝐢𝐚 𝐚𝐫𝐢𝐭𝐦é𝐭𝐢𝐜𝐚 𝐝𝐚𝐬 𝐢𝐝𝐚𝐝𝐞𝐬 = 𝟏𝟔,𝟔 𝐚𝐧𝐨𝐬}}$$

Qual dos pedaços abaixo representa a parte que falta no relatório?

A figura abaixo mostra um círculo, sobre o qual estão desenhados um triângulo equilátero e um retângulo, cada um com um vértice no centro do círculo. A área da figura clara mede $21\pi {cm}^2$.

A medida do raio do círculo é: