Questões de EFAF Matemática

Estudos revelam que, independentemente de etnia, idade e condição social, as pessoas têm padrões estéticos comuns de beleza facial e que as faces consideradas bonitas apresentam-se em proporção áurea. A proporção áurea é a constante $\varphi =1,618...$

Uma agência de modelos reconhece a informação citada e utiliza-a como critério de beleza facial de suas contratadas. Para entrevistar uma nova candidata a modelo, a referida agência pede uma fotografia de rosto no ato da inscrição e, com ela, determina as medidas mostradas na figura.

$${\displaystyle \frac{M1}{M3}}={\displaystyle \frac{M3}{M2}}=\varphi$$

Analisando a fotografia de cinco candidatas, $I,II,III,IVeV$, para a seleção de uma única garota, foram constatadas estas medidas:

Candidata $I:M1=11cm;M2=5,5cmeM3=7cm.$

Candidata $II:M1=10,5cm;M2=4,5cmeM3=6,5cm.$

Candidata $III:M1=11,5cm;M2=3,5cmeM3=6,5cm.$

Candidata $IV:M1=10cm;M2=4cmeM3=6,5cm$.

Candidata $V:M1=10,5cm;M2=4cmeM3=6,5cm$.

(CONTADOR, P. R. M. A matemática na arte e na vida. São Paulo: Livraria da Física, 2007 (adaptado).)

A candidata selecionada pela agência de modelos, segundo os critérios da proporção áurea, foi

Cinco jogadores de futebol, Mário, Nei, Paulo, Raí e Tito, estão disputando uma vaga no time titular. O treinador estipulou que quem marcasse mais gols de pênaltis ganharia a vaga. Sabe-se que:

$•$ Mário marcou menos que Nei;

$•$ Paulo e Raí marcaram o mesmo número de gols;

$•$ Tito marcou mais que Nei;

$•$ não houve empates no primeiro lugar.

Pode-se afirmar que quem ganhou a vaga foi

Considere as afirmações abaixo:

$I.$ A medida de um ângulo externo $\beta$ de um triângulo é igual à soma das medidas dos ângulos internos não adjacentes a $\beta$.

$II.$ Sejam $T_1$ e $T_2$ dois triângulos semelhantes. Então, a razão entre alturas relativas a lados correspondentes é igual à razão de semelhança.

$III.$ Se dois triângulos possuem dois lados congruentes, então os triângulos em questão são congruentes.

É CORRETO afirmar que:

Uma das primeiras estimativas do raio da Terra é atribuída a Eratóstenes, estudioso grego que viveu, aproximadamente, entre $275a.C.e195a.C.$.

Sabendo que em Assuã, cidade localizada no sul do Egito, ao meio dia do solstício de verão, um bastão vertical não apresentava sombra, Eratóstenes decidiu investigar o que ocorreria, nas mesmas condições, em Alexandria, cidade no norte do Egito. O estudioso observou que, em Alexandria, ao meio dia do solstício de verão, um bastão vertical apresentava sombra e determinou o ângulo $\theta$ entre as direções do bastão e de incidência dos raios de sol. O valor do raio da Terra, obtido a partir de $\theta$ e da distância entre Alexandria e Assuã foi de, aproximadamente, $7500km$. O mês em que foram realizadas as observações e o valor aproximado de $\theta$ são

NOTE E ADOTE:

$•$ Distância estimada por Eratóstenes entre Assuã e Alexandria $\approx 900km$

$•\pi =3$

O mapa de uma região utiliza a escala de $1:200.000$. A porção desse mapa, contendo uma Área de Preservação Permanente $(APP)$, está representada na figura, na qual $AF$ e $DF$ são segmentos de reta, o ponto $G$ está no segmento $AF$, o ponto $E$ está no segmento $DF$, $ABEG$ é um retângulo e $BCDE$ é um trapézio.

Obs: Figura ilustrativa, sem escala.

Se $AF¯=15$, $AG¯=12$, $AB¯=6$, $CD¯=3$ e $DF¯=5\sqrt{5}$ indicam valores em centímetros no mapa real, então a área da $APP$ é