Questões de EFAF Matemática

Um funcionário de uma gráfica trabalha numa cidade e mora em outra. O tempo que ele utiliza para se locomover é de $45$ minutos diários.

Se ele aumentar sua velocidade em $20\%$, ele permanecerá dentro dos limites de velocidade determinada e chegará ao trabalho em

De acordo com a figura abaixo, determine a medida de $CE$.

Os triângulos $ABC$ e $ABD$ são isósceles de bases $AB$ e $BD$, respectivamente. Sendo o ângulo $AĈB={40}^{\circ }$, determine a medida do ângulo $CÂD$.

Considere a expressão numérica ${\displaystyle \frac{1}{1+{\displaystyle \frac{1}{1+{\displaystyle \frac{1}{1+{\displaystyle \frac{1}{\cdots }}}}}}}}$, onde reticências denota que esse processo continua indefinidamente. Uma técnica para calcular o valor de tal expressão é a seguinte:

1º) Dê um nome para a expressão, por exemplo, $x$. Assim, ${\displaystyle \frac{1}{1+{\displaystyle \frac{1}{1+{\displaystyle \frac{1}{1+{\displaystyle \frac{1}{\cdots }}}}}}}}$;

2º) Substitua $x$ na própria expressão numérica; será obtida, portanto, a equação $x={\displaystyle \frac{1}{1+x}}$, que é equivalente a $x^2+x-1=0$

Resolvendo a equação acima, serão encontrados os valores $x={\displaystyle \frac{-1+\sqrt{5}}{2}}$ ou $x={\displaystyle \frac{-1-\sqrt{5}}{2}}$. Como a expressão numérica é formada apenas por somas de números positivos, temos que $x={\displaystyle \frac{-1+\sqrt{5}}{2}}$ é o valor da expressão, isto é:

$${\displaystyle \frac{1}{1+{\displaystyle \frac{1}{1+{\displaystyle \frac{1}{1+{\displaystyle \frac{1}{\cdots }}}}}}}}={\displaystyle \frac{-1+\sqrt{5}}{2}}$$

Com auxílio do exemplo acima, o valor numérico da expressão numérica ${\displaystyle \frac{2}{2+{\displaystyle \frac{2}{2+{\displaystyle \frac{2}{2+{\displaystyle \frac{2}{\cdots }}}}}}}}$:

Desenvolvendo o polinômio ${(x-4)}^3$ , obtemos como resultado $x^3+m{x}^2+nx+p$ , com $m$, $n$ e $p$ números reais.

Qual o valor da expressão ${\displaystyle \frac{m+n}{p}}$?