Questões de EFAF Matemática

Considere a sequência de números binários:

$$\{101,1010101,10101010101,101010101010101\cdots \}$$

A soma de todos os algarismos dos $20$ primeiros termos dessa sequência é

Uma agência de viagens oferece aos seus primeiros clientes, na primeira semana do ano, três pacotes promocionais: Básico, Padrão e Luxo. No regulamento da promoção há uma cláusula que não permite que o cliente que opte por apenas $2$ pacotes, simultaneamente, adquira os pacotes Padrão e Luxo. No final da semana, constatou-se que:

$37$ clientes ficaram com pelo menos um dos pacotes promocionais;

$13$ clientes adquiriram, simultaneamente, os pacotes Básico e Padrão;

$19$ clientes ficaram com apenas um pacote.

A quantidade de clientes que adquiriram, simultaneamente, apenas os pacotes Básico e Luxo foi de:

No retângulo $ABCD$ a seguir, tem-se que $E$ e $F$ são os pontos médios dos lados $AB$ e $BC$ respectivamente.

A razão entre as áreas do triângulo $DEF$ e do retângulo $ABCD$ é:

Se $a=\pi$ e $b=\sqrt{2}$, é correto afirmar que o resultado da expressão abaixo é:

$${\displaystyle \frac{a^6-b^6}{a^2-ab+b^2}}$$

Sobre o lado $DC$ de um quadrado $ABCD$ foi marcado o ponto $E$, de modo a se obter o triângulo $AEC$, conforme ilustrado na figura abaixo. Considerando-se os lados desse triângulo, sabe-se que a medida do lado $EC$ corresponde à medida do lado $AE$ menos quatro unidades e que a medida do lado $AC$ corresponde ao lado $AE$ mais quatro unidades.

A área do quadrado $ABCD$ vale

Um petroleiro possui reservatório em formato de um paralelepípedo retangular com as dimensões dadas por $60m\times 10m$ de base e $10m$ de altura. Com o objetivo de minimizar o impacto ambiental de um eventual vaza mento, esse reservatório é subdividido em três compartimentos, $A$, $B$ e $C$, de mesmo volume, por duas placas de aço retangulares com dimensões de $7m$ de altura e $10m$ de base, de modo que os compartimentos são interligados, conforme a figura. Assim, caso haja rompimento no casco do reservatório, apenas uma parte de sua carga vazará.

Suponha que ocorra um desastre quando o petroleiro se encontra com sua carga máxima: ele sofre um acidente que ocasiona um furo no fundo do compartimento $C$. Para fins de cálculo, considere desprezíveis as espessuras das placas divisórias.

Após o fim do vazamento, o volume de petróleo derramado terá sido de