Questões de EFAF Matemática

Para capinar um terreno circular plano, de raio $7\mathrm{\text{m}}$, uma máquina gasta $5$ horas.

Quantas horas gastará essa máquina para capinar um terreno em iguais condições com $14\mathrm{\text{m}}$ de raio?

Seja

$$K={\left({\displaystyle \frac{999\dots {997}^2-9}{9999...994}}\right)}^3$$

onde cada um dos números $9999\dots 997$ e $9999\dots 994$, são constituídos de $2015$ algarismos $9$. Deseja-se que $\sqrt[i]{K}$ seja um número racional. Qual a maior potência de $2$ que o índice $i$ pode assumir?

Seja S a soma dos valores inteiros que satisfazem a inequação ${\displaystyle \frac{(5x-40{)}^2}{x^2-10x+21}}\le 0$.

Pode-se afirmar que

Em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, os pares ordenados $(2x;y)$ e $(6;8–x)$ representam um mesmo ponto $C$, que é centro de uma circunferência que tangencia o eixo das ordenadas. (Utilize o plano cartesiano a seguir para localizar o ponto $C$).

O raio dessa circunferência mede:

Quando a Lua está em quarto crescente ou quarto minguante, o triângulo formado pela Terra, pelo Sol e pela Lua é retângulo, com a Lua no vértice do ângulo reto. O astrônomo grego Aristarco, do século $IIIa.C.$, usou este fato para obter um valor aproximado da razão entre as distâncias da Terra à Lua, $d_L$, e da Terra ao Sol, $d_S$.

É possível estimar a medida do ângulo $\alpha$, relativo ao vértice da Terra, nessas duas fases, a partir da observação de que o tempo $t_1$, decorrido de uma lua quarto crescente a uma lua quarto minguante, é um pouco maior do que o tempo $t_2$, decorrido de uma lua quarto minguante a uma lua quarto crescente.

Supondo que a Lua descreva em torno da Terra um movimento circular uniforme, tomando $t_1=$ $14,9$ dias e $t_2=$ $14,8$ dias, conclui-se que a razão ${\displaystyle \frac{d_L}{d_S}}$ seria aproximadamente dada por