Questões de EFAF Matemática

Josefa brinca de escrever sequências de números. A partir de um número natural maior do que $1$, ela procede da seguinte forma para obter o próximo número:

$•$ Se o número for par, ela o divide por $2$.

$•$ Se o número for ímpar e tiver apenas um algarismo, ela soma $1$ a esse número e divide o resultado por $2$.

$•$ Se o número for ímpar e tiver mais de um algarismo, ela apaga o algarismo das unidades. Josefa repete o procedimento com o número obtido até aparecer o número $1$, quando termina a sequência.

Por exemplo, a sequência que começa com $1101$ é formada por sete números:

$$1101\to 110\to 55\to 5\to 3\to 2\to 1$$

Quantas são as sequências formadas por três números?

Joãozinho distribuiu bolas em caixas numeradas de $1$ a $2016$. Ele fez isso de forma que o número total de bolas, em quaisquer cinco caixas consecutivas, fosse sempre o mesmo. Na figura abaixo estão indicadas as quantidades de bolas em algumas caixas; a figura também mostra que Joãozinho colocou $3$ e $7$ bolas em duas caixas vizinhas.

Quantas bolas ele colocou na última caixa?

Três amigos fizeram uma aposta tentando adivinhar quantas sementes havia dentro de uma abóbora. Os palpites foram os seguintes: 234, 260 e 274. Quando abriram a abóbora e contaram as sementes, viram que um dos palpites estava errado por 17, outro por 31 e o outro por 9, para mais ou para menos. Na contagem das sementes, elas foram agrupadas em vários montinhos, cada um deles com 10, e um último montinho com menos de 10 sementes. Quantas sementes havia no último montinho?

No triângulo isósceles $ABC$, $AB¯=AC¯=13$ e $BC¯=10$. Em $AC$ marca-se $R$ e $S$, com $CR¯=2x$ e $CS¯=x$.

Paralelo a $AB$ e passando por $S$ traça-se o segmento $ST$, com $T$ em $BC$. Por fim, marcam-se $U$, $P$ e $Q$ simétricos de $T$, $S$ e $R$, nessa ordem, e relativo à altura de $ABC$ com pé sobre $BC$.

Ao analisar a medida inteira $x$ para que a área do hexágono $PQRSTU$ seja máxima, obtém-se:

Dado que o número de elementos dos conjuntos $A$ e $B$ são, respectivamente, $p$ e $q$, analise as sentenças que seguem sobre o número $N$ de subconjuntos não vazios de $A\cup B$.

$N=2^p+2^p-1$

$N=2^{pq-1}$

$N=2^{p+q}-1$

$N=2^{p-1}$, se a quantidade de elementos de $A\cap B$ é $p$.

Com isso, pode-se afirmar que a quantidade dessas afirmativas que são verdadeiras é: