Questões de EFAF Matemática - Sistemas de numeração

Quantos números de quatro algarismos distintos não têm 1 nas unidades, nem 2 nas dezenas, nem 3 nas centenas e nem 4 nos milhares?

Para quantos inteiros positivos k menores que 2013, existem inteiros a, b e c, não necessariamente distintos, satisfazendo

a² + b + c = b² + c + a = c² + a + b = k ?

Qual dos seguintes números é o mais próximo da quantidade de algarismos de 3⁴⁰⁰?

De quantos modos podemos distribuir 10 bolas brancas e 8 bolas vermelhas em cinco caixas iguais, de modo que em cada caixa haja pelo menos uma bola e que em cada caixa haja um número diferente de bolas brancas?

Num circo, a atração principal é a Corrida de Pulgas. Duas pulgas, P₁ e P₂, perfeitamente treinadas, saltam ao longo de uma linha reta, com velocidades constantes, partindo de um mesmo ponto e no mesmo instante. Cada salto da pulga P₁  tem alcance m centímetros e cada salto da pulga P₂ tem alcance n centímetros, com m < n, ambos inteiros. Porém a pulga P₁  é mais rápida que a pulga P₂, de modo que, independente da velocidade de P₂, P₁  sempre pode alcançá-la após alguns saltos.

Supondo que, após a largada, as pulgas estarão juntas, pela primeira vez, ao final de 1 metro, determine o número de pares (m, n) possíveis.

Uma potência perfeita é um número inteiro da forma a^b, a e b inteiros, b > 1. Seja f(n) a maior potência perfeita que não excede n. Por exemplo, f(7) = 4, f(8) = 8 e f(99) = 81.

Sorteando ao acaso um número inteiro k com 1 ≤ k ≤  100, qual a probabilidade de f(k) ser um quadrado perfeito?