Questões de EFAF Matemática

Três pessoas vão juntas a uma cafeteria. A primeira pede um salgado e um suco, a segunda pede um doce e um suco, a terceira pede um salgado e um doce.

 

Sabendo que elas gastaram, respectivamente, R$ 8,55, R$ 8,00 e R$ 5,95, o valor gasto para comprar um salgado, um doce e um suco é

O texto a seguir serve de base para a QUESTÃO.

 

Divertimento nº 5 - As coordenadas do tesouro.

 

    Em 1947, o físico americano George Gamov publicou um dos mais famosos livros de matemática recreativa: One, Two, Three...Infinity. Nesse livro, aparece um dos mais conhecidos problemas envolvendo coordenadas cartesianas em uma brincadeira de caça ao tesouro: Um jovem aventureiro encontra um pergaminho em que há instruções para encontrar um tesouro. Esse problema foi reproduzido em diversos outros livros e formatos. A seguir, baseado no problema de Gamov, apresentamos uma versão de caça ao tesouro em um plano cartesiano. 

    Quando aportou em uma ilha, um pirata encontrou, dentro de uma garrafa, o seguinte mapa:

    Suponha que o pirata tenha encontrado o enorme coqueiro e seguido as instruções dadas no mapa. A figura abaixo é uma representação, no plano cartesiano, da trajetória seguida pelo pirata até encontrar o baú de pedras preciosas.

    Nessa representação, o ponto P₀ corresponde ao enorme coqueiro descrito no mapa e é a origem do plano cartesiano. Além disso, o ponto P₁ corresponde à posição do pirata imediatamente após a execução da 1ª etapa; o ponto P₂ à posição do pirata imediatamente após a execução da 2ª etapa; e, de modo geral, o ponto P_n, à posição do pirata imediatamente após a execução da n-ésima etapa, em que n é um número natural.

Se P₄ é o ponto (a,b), então a soma de suas coordenadas, a+b, é igual a

Leia o texto abaixo para responder à QUESTÃO.

Divertimento nº 3 — Quadrados Mágicos.

    O problema do quadrado mágico consiste em posicionar números inteiros numa tabela, de forma que as somas, em cada linha, cada coluna e cada uma das duas diagonais principais sejam iguais. Essa soma é denominada soma mágica. Por exemplo, a tabela a seguir é um quadrado mágico em que a soma mágica é 9.

Dizemos que um quadrado mágico é de ordem n quando ele tem n linhas e n colunas. Um quadrado mágico de ordem n formado por todos os números inteiros de 1 até nº é denominado quadrado mágico normal. Nesse sentido, a tabela abaixo é um quadrado mágico normal de ordem 3 com soma mágica igual a 15.

Pode-se mostrar que, em todo quadrado mágico de ordem 3, o elemento que está na 2º linha e na 2º coluna é um terço da soma mágica.

 

    O quadrado mágico normal de ordem 3 acima já era conhecido na China por volta do ano 3000 a.C. Diz uma lenda que ele foi visto pela primeira vez nas costas de uma tartaruga que emergia do rio Lo.

 

    Um quadrado mágico de ordem 4 aparece, por exemplo, na gravura Melancholia I, feita pelo pintor alemão Albrecht Diirer em 1514.

http://mostramat.blogspot.com.br (acesso 27/08/2017)

Considere que a tabela abaixo é um quadrado mágico em que a, b cd efe g são números inteiros.

Se a média aritmética da amostra formada pelos elementos desse quadrado mágico é igual a 16, então essa amostra

Leia o texto abaixo para responder à QUESTÃO.

 

Divertimento nº2 — Números de Fibonacci.

 

Leonardo de Pisa, também conhecido como Leonardo Fibonacci, foi o primeiro grande matemático da Europa Cristã Medieval. Quando jovem, fez várias viagens pelo Egito, Síria, Grécia e Constantinopla, onde estudou diversos sistemas de numeração. Convencido da superioridade e praticidade do sistema de numeração indo-arábico, publicou em 1202 o Liber Abaci (O Livro do Cálculo”). Nele, Fibonacci apresentou o seguinte problema de geração de coelhos:

 

    “Um casal de filhotes de coelhos, pertencentes a uma raça imortal, foi colocado em um lugar cercado de muros intransponíveis por todos os lados. Sabe-se que, nessa raça, um casal de coelhos maduros gera, a cada mês, um par de filhotes de coelhos, sendo necessários dois meses para que um par de filhotes de coelhos se torne maduro. Dessa forma, quantos casais de coelhos haverá nesse lugar um ano após a chegada do primeiro casal de coelhos?

 

Denote por F_n o número de pares de coelhos n meses após a chegada do primeiro casal de coelhos. Assim,

 

F₀ = 1, F₁ = 1, F₂ = 2, F₃ = 3, F₄ = 5, F₅ = 8, F₆,=13,...

 

Essa sequência de números foi chamada pelo matemático francês Edouard Lucas, no século XIX, de Sequência de Fibonacci. Note que cada número dessa sequência, a partir do terceiro, é a soma dos dois anteriores. Assim, por exemplo, F₂ = F₁ + F₀, F₃ = F₂ + F₁, F₄ = F₃ + F₂, F₅ = F₄ + F₃ etc.

Considere uma amostra formada por 8 números consecutivos da Sequência de Fibonacci, isto é

 

 

em que n é um número natural. Sejam M_e e M_a a mediana e a média aritmética dessa amostra, respectivamente.

 

Então, a soma dos dois primeiros elementos dessa amostra, isto é, é igual a

Quando , o valor numérico da expressão  é igual a:

Para ir de sua casa (ponto A) até a escola onde estuda (ponto E), Frederico caminha diariamente pelo percurso indicado em negrito na figura, com distâncias dadas em metros.

Se ele pudesse ir diretamente de A até E, pelo trajeto indicado na figura pela linha pontilhada, o seu percurso diário (ida e volta) seria reduzido em