Questões de EFAF Matemática

A Cifra de César é um exemplo de um método de codificação de mensagens usado por Júlio César para se comunicar com seus generais.

No método, cada letra era trocada por uma letra que aparecia no alfabeto um número fixo de casas adiante (ou atrás) de forma cíclica. A seguir temos um exemplo em que cada letra é substituída pela que vem três posições à frente.

Para quebrar um código como esse, a análise de frequências das letras de um texto é uma ferramenta importante.

Uma análise do texto O Guarani, de José de Alencar, que é composto por $491631$ letras, gerou o seguinte gráfico de frequências:

Após codificar esse texto com a regra do exemplo fornecido, faz-se nova análise de frequência no texto codificado.

As quatro letras mais frequentes, em ordem decrescente de frequência, do texto codificado são:

Um casal está planejando comprar um apartamento de dois quartos num bairro de uma cidade e consultou a página de uma corretora de imóveis, encontrando $105$ apartamentos de dois quartos da corretora para gerar a distribuição dos preços do conjunto de imóveis selecionados.

O gráfico ilustra a distribuição de frequências dos preços de venda dos apartamentos dessa lista (em mil reais), no qual as faixas de preço são dadas por: $]300,400]$, $]400,500]$, $]500,600]$, $]600,700]$, $]700,800]$. $]800,900]$, $]900,1000]$, $]1000,1100]$, $]1100,1200]$ e $]1200,1300]$.

A mesma corretora anuncia que cerca de $50\%$ dos apartamentos de dois quartos nesse bairro, publicados em sua página, têm preço de venda inferior a $550$ mil reais. No entanto, o casal achou que essa última informação não era compatível com o gráfico obtido.

Com base no gráfico obtido, o menor preço, $p$ (em mil reais), para o qual pelo menos $50\%$ dos apartamentos apresenta preço inferior a $p$ é:

A depressão caracteriza-se por um desequilíbrio na química cerebral. Os neurônios de um deprimido não respondem bem aos estímulos dos neurotransmissores. Os remédios que combatem a depressão têm o objetivo de restabelecer a química cerebral. Com o aumento gradativo de casos de depressão, a venda desses medicamentos está em crescente evolução, conforme ilustra o gráfico.

No período de $2005$ a $2009$, o aumento percentual no volume de vendas foi de:

A demografia médica é o estudo da população de médicos no Brasil nos aspectos quantitativo e qualitativo, sendo um dos seus objetivos fazer projeções sobre a necessidade da formação de novos médicos. Um desses estudos gerou um conjunto de dados que aborda a evolução do número de médicos e da população brasileira por várias décadas. O quadro apresenta parte desses dados.

Segundo uma projeção estatística, a variação do número de médicos e o da população brasileira de $2010$ para $2020$ será a média entre a variação de $1990$ para $2000$ e a de $2000$ para $2010$. Com o resultado dessa projeção, determina-se o número de médicos por mil habitantes no ano de $2020$.

Disponível em: www.cremesp.org.br. Acesso em: $24$ jun. $2015$ (adaptado).

O número, com duas casas na parte decimal, mais próximo do número de médicos por mil habitantes no ano de $2020$ seria de:

Um parque temático brasileiro construiu uma réplica em miniatura do castelo de Liechtenstein. O castelo original, representado na imagem, está situado na Alemanha e foi reconstruído entre os anos de $1840$ e $1842$, após duas destruições causadas por guerras.

O castelo possui uma ponte de $38,4m$ de comprimento e $1,68m$ de largura. O artesão que trabalho para que o parque produziu a réplica do castelo, em escala. Nessa obra, as medidas do comprimento e da largura da ponte eram, respectivamente, $160cm$ e $7cm$.

A escala utilizada para fazer a réplica é:

Para a comunicação entre dois navios é utilizado um sistema de codificação com base em valores numéricos. Para isso, são consideradas as operações triângulo $\Delta$ e estrela $*$, definidas sobre o conjunto dos números reais por:

$$x\Delta y=x^2+x\cdot y-y^2$$

$$x*y=x\cdot y+x$$

O navio que deseja enviar uma mensagem deve fornecer um valor de entrada $b$, que irá gerar um valor de saída, a ser enviado ao navio receptor, dado pela soma das duas maiores soluções da equação:

$$(a\Delta b)*(b\Delta a)=0$$

Cada valor possível de entrada e saída representa uma mensagem diferente já conhecida pelos dois navios.

Um navio deseja enviar ao outro a mensagem ”ATENÇÃO”. Para isso, deve utilizar o valor de entrada $b=1$.

Dessa forma, o valor recebido pelo navio receptor será: