Questões de EFAF Matemática - Sistemas de numeração

O Gonçalo escreveu vários números naturais, todos distintos, no quadro da sala de aula. Exatamente dois são divisı́veis por 2 e exatamente treze são divisı́veis por 13. Seja M o maior desses números.

Qual é o menor valor possı́vel para M?

Um grupo de 25 pessoas era constituı́do por cavaleiros, servos e donzelas. Os cavaleiros diziam sempre a verdade e os servos mentiam sempre. Cada uma das donzelas alternava entre a verdade e a mentira. Quando se perguntou a cada um dos habitantes: “És um cavaleiro?”, 17 habitantes responderam “Sim”. Quando depois se perguntou a cada um dos habitantes: “És uma donzela?”, 12 habitantes responderam “Sim”. Quando se perguntou, por fim, a cada um dos habitantes: “És um servo?”, 8 habitantes responderam “Sim”.

Quantos cavaleiros há no grupo?

A Rita e a Maria gostam de competir a resolver problemas. Foi dada a cada uma delas uma lista com os mesmos 100 problemas. Para cada problema, a primeira a resolvê-lo obtém 4 pontos, enquanto que a segunda a resolvê-lo obtém 1 ponto. A Rita resolveu 60 problemas, a Maria também resolveu 60 problemas. Sabemos que em nenhum problema houve situação de empate e, em conjunto, elas obtiveram 312 pontos.

Quantos problemas é que foram resolvidos por ambas?

O Daniel escreveu os números naturais de 1 a 9 nas células de uma tabela 3 × 3. Ele começou por escrever os números 1, 2, 3 e 4 tal como na figura. Ao terminar, o Daniel observou que a soma dos números nas células que partilham um lado com a célula do 9 é 15.

Qual é a soma dos números nas células que partilham um lado com a célula do 8?

Seis jovens partilham o mesmo apartamento com dois chuveiros. Em cada manhã, a partir das 7 horas, todos usam um dos chuveiros e nunca está mais do que um jovem em cada chuveiro ao mesmo tempo. Os tempos de ocupação dos chuveiros pelos seis jovens são de 8, 10, 12, 17, 21 e 22 minutos, respetivamente.

A que horas poderão eles libertar os chuveiros o mais cedo possı́vel?

O coração e a seta estão nas posições triangulares indicadas na figura e começam a mover-se ao mesmo tempo. A seta muda três posições no sentido dos ponteiros do relógio e o coração muda 4 posições no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio e depois param durante um segundo. Ao fim deste tempo, repetem o movimento indicado anteriormente.

Depois de quantos movimentos é que o coração e a seta estarão no mesmo triângulo pela primeira vez?