Questões de EFAF Matemática

Um professor de Matemática propôs a seu aluno o seguinte problema:

"Um número é tal que

$I.$ Multiplicado por $\frac{3}{4}$, diminui de $5$ unidades;

$II.$ Dividido por $\frac{4}{5}$, aumenta de $5$ unidades;

$III.$ Adicionando-se-lhe $10$ unidades, obtém-se outro número que é $\frac{3}{2}$ do número procurado."

O aluno respondeu que o problema é impossível porque, embora os itens $I$ e $II$ fossem possíveis, o mesmo não se verifica em relação ao item $III$.

Analisando a resposta do aluno, conclui-se que

Se $a$ e $b$ são números reais não nulos, $b\ne \pm a$, então, simplificando a expressão abaixo, obtém-se

$$(a^{2}b+a{b}^2)\cdot \left({\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{a^3}}-{\displaystyle \frac{1}{b^3}}}{{\displaystyle \frac{1}{a^2}}-{\displaystyle \frac{1}{b^2}}}}\right)$$

Uma pessoa, dispondo de certo capital, fez as seguintes aplicações em um ano:

$1^{\circ }$ Aplicou $\frac{2}{5}$ do capital em letras de câmbio, lucrando $30\%$;

$2^{\circ }$ Aplicou $\frac{1}{5}$ do capital em fundos de investimento, perdendo $20\%$;

$3^{\circ }$ Aplicou o restante em caderneta de poupança e seu lucro nessa aplicação foi de $25\%$.

Relativamente ao total aplicado, pode-se dizer que houve