Questões de EFAF Matemática

Ao longo da história da Matemática, muitos resultados importantes foram alcançados, não só motivados por problemas concretos de uma sociedade como também por curiosidades investigadas por matemáticos. Uma dessas curiosidades foi descoberta recentemente pelo matemático indiano Dattatreya Ramchandra Kaprekar (1905 – 1986), que desenvolveu um procedimento para se obter o número 6174 através de alguns simples recursos aritméticos. Cada etapa desse procedimento consiste em considerar um número composto por quatro algarismos, em que pelo menos dois sejam distintos. Depois deve-se reescrever o número escolhido de duas formas: uma com os algarismos em ordem decrescente e a outra com os algarismos em ordem crescente. Por fim, calcula-se a diferença entre os números obtidos. Com o novo número, repete-se a etapa anterior e assim por diante, até que se obtenha 6174. Kaprekar descobriu que é possível chegar ao resultado pretendido em, no máximo, 7 etapas. Observe o procedimento de Kaprekar realizado com o número 1302:

1ª etapa (reescrevendo 1302): 3210 – 0123 = 3087
2ª etapa (reescrevendo 3087): 8730 – 0378 = 8352
3ª etapa (reescrevendo 8352): 8532 – 2358 = 6174

Deste modo, a partir de 1302, foi possível obter 6174 após 3 etapas do procedimento de Kaprekar.

Aplicando o mesmo procedimento ao número 4251, é possível chegar a 6174 após:

Não se deve tirar conclusões precipitadas, (l. 34)

Observe duas maneiras de representar um número racional:

0,12121212... = 12/99

Ao dividir 0,20202020... por 0,02020202... o resultado encontrado é:

Para reduzir e simplificar cálculos de diferenças entre quadrados pode-se usar a seguinte relação:

x² − y² = (x + y).(x − y)

Assim, o valor de 110² − 100² é igual a:

E é preciso comparar, sempre. (l. 6)

Um estudante construiu três triângulos com características parecidas, conforme se observa abaixo.

Os triângulos I e III são congruentes pelo seguinte caso:

É possível estimar a altura de uma criança, na fase adulta, quando se conhece a altura de seus pais biológicos. Para isso, utiliza-se a seguinte expressão matemática, na qual x representa a altura do pai e y a da mãe, ambas em centímetros.

Considere um menino cujo pai tem 182 cm de altura e a mãe, 153 cm.

Na fase adulta, sua altura estimada, em centímetros, será de:

Tudo o que a gente faz começa na imaginação: (l. 13-14)

Uma estudante imaginou um pentágono regular ABCDE e, prologando seus lados, obteve as pontas de uma estrela, conforme ilustrado nas imagens a seguir.

O ângulo interno no vértice J mede: