Questões de EFAF Matemática - Sistemas de numeração

Uma urna vermelha contém 20 bolas, numeradas de 1 a 20, e uma urna verde está vazia.

i) Maria retira uma bola, mostra seu número para João e a coloca na urna verde.
ii) João retira da urna vermelha todas as bolas cujos números são divisores do número mostrado por Maria e as coloca na urna verde.

Os passos i) e ii) são repetidos em sequência, até o momento que o passo ii) não pode ser mais realizado.

No máximo, quantas bolas poderão ser colocadas na urna verde?

O número 5² = 25 é um quadrado perfeito e o número 4³ = 64 é um cubo perfeito.

Qual é o menor número inteiro positivo n cujo dobro é um quadrado perfeito e cujo triplo é um cubo perfeito?

Esmeralda brinca de escrever o número 2015 como a soma de três números, em ordem não decrescente, todos com três algarismos, como, por exemplo, 670 + 671 + 674 = 2015 e 175 + 920 + 920 = 2015. Note que, no segundo exemplo, o número 920 aparece duas vezes como parcela.

Se ela escrevesse todas as somas possíveis, quantos números apareceriam duas vezes como parcela?

Fabiana tem 55 cubos de mesmo tamanho, sendo 10 deles vermelhos, 15 azuis e 30 verdes. Ela quer construir uma torre empilhando esses cubos de modo que dois cubos vizinhos tenham cores diferentes.

No máximo, quantos cubinhos ela poderá empilhar?

Julieta fez um X com nove quadradinhos, conforme a figura. Ela quer escrever os números de 1 a 9 nesses quadradinhos, sem repeti-los, de forma que as somas dos dois números em cada uma das quatro “perninhas” do X seja a mesma.

Quantos dos números de 1 a 9 podem ocupar a casa central (em cinza) do X?

A média aritmética dos algarismos do ano 2015 é igual a 2, pois (2 + 0 + 1 + 5) / 4 = 8/4 = 2.

Quantas vezes em nosso século isto irá acontecer com os algarismos nos anos após 2015?