Questões de EFAF Matemática - Sistemas de numeração

Inicialmente, na tela de um computador, estão escritos os números 1 e 2. A cada segundo, esses dois números são trocados pela soma de seus quadrados e pelo dobro de seu produto.

Depois de aproximadamente quanto tempo um desses dois números vai ser maior do que a quantidade de átomos no planeta Terra, que é cerca de 10⁵⁰?

Jonas gosta de observar os relógios digitais espalhados por sua cidade que informam a hora e a data. Por coincidência ele viu que hoje é dia 12/06 e naquele momento marcava 12: 06, ou seja, data e hora são formados com os mesmos números! Ele ficou encucado com a coincidência e chamou o momento (data e hora) de encucado. Ele pensou que também seria interessante se a hora fosse formada com os mesmos números mas na ordem trocada, por exemplo, no dia 21/06 às 06: 21, então chamou esse momento de encucado reverso.

Considerando que 2015 não é um ano bissexto, desde 01/01/2015 às 00: 00 até 31/12/2015 às 23: 59 quantos momentos são encucados ou encucados reversos?

Existem quantos números inteiros positivos n tais que ao dividir 2032 por n temos resto 17?

Dizemos que dois anos coincidem se têm a mesma quantidade de dias e os dias da semana de todos os seus dias coincidem.

O ano de 2015 coincide com 2009; qual é o próximo ano que coincide com 2015? Lembre-se de que os anos múltiplos de 4 no século XXI (com exceção de 2100) são bissextos e têm 366 dias; os demais anos têm 365 dias.

Fabiana tem 55 cubos de mesmo tamanho, sendo 10 deles vermelhos, 15 azuis e 30 verdes. Ela quer construir uma torre empilhando esses cubos de modo que dois cubos vizinhos tenham cores diferentes.

No máximo, quantos cubinhos ela poderá empilhar?

Violeta quer numerar de 1 a 9 os quadrados do tabuleiro ao lado, de modo que a soma de dois números em quadrados vizinhos (quadrados com lados comuns) seja um número ímpar. Além disso, ela quer que a soma dos números escritos nos quadrados cinza seja a maior soma possível.

Qual é a soma dos números escritos nos quadrados brancos?