Questões de EFAF Matemática

Estudante $A$ e Estudante $B$ são amigos do Ensino Médio e querem comprar livros para os estudos do ano letivo. Na loja, os amigos se interessam por um livro de álgebra que custa R$ 38,00 e percebem que só há uma unidade do livro à venda. Portanto, vão combinar os valores que possuem para a compra do livro. Estudante $A$ possui apenas cédulas de R$ 2,00 e Estudante $B$, apenas cédulas de R$ 5,00.

Sabendo que os amigos utilizaram ao todo $10$ cédulas, os valores que o Estudante $A$ e o Estudante $B$ gastaram na compra do livro, respectivamente, são

A unidade de medida comumente utilizada na Física para lidar com grandezas da ordem do átomo é o ångstrom (Å) cujo nome tem origem no antropônimo Anders Jonas ångstrom, físico sueco. Evidentemente, o uso do ångstrom se mostrou necessário com a descoberta e necessidade de marcar distâncias menores que a unidade usada até então, todavia esta unidade de medida não faz parte do $SI$ (Sistema Internacional de Unidades).

O ångstrom (Å) é uma unidade de medida de comprimento que se relaciona com o metro através da relação:

1 Å$=1,5351\cdot {10}^{-10}m$, da mesma forma, utilizando relações métricas, temos que $1$ (um) ångstrom equivale a $100$ picômetros $(pm)$.

Na Química, o comprimento de uma ligação química é a distância entre os centros de dois núcleos atómicos envolvidos nesta ligação. A técnica de difração de raios-X é a técnica cristalográfica mais comum na determinação de comprimentos de ligação. Como exemplo, o comprimento das ligações carbono-carbono simples do Etano é $153,51$ picômetros $(pm)$. O comprimento em notação científica no sistema internacional dado, em metros, seria

Um diagrama de ramos e folhas é um dispositivo para apresentação de dados quantitativos em um formato gráfico, semelhante a um histograma, que ajuda a visualizar a forma de uma distribuição.

Ele é construído com duas colunas separadas por uma linha vertical em que os listados à esquerda. É importante que cada ramo seja listado apenas uma vez e que nenhum número seja pulado, mesmo que haja ramos sem folhas. As folhas são listadas em ordem crescente em uma linha à direita de cada ramo.

Neste exemplo, a folha representa a casa das unidades e o ramo representará o resto do número (da casa das dezenas em diante). Decompondo este rol de dados temos as medidas: $\{23,25,31,33\}$.

Considerando o diagrama de ramos e folhas acima, compondo o resultado de uma pesquisa estatística, a mediana deste rol de dados é

Diante de tantos trechos históricos em que podemos perceber o uso constante da análise combinatória no cotidiano, percebemos que atualmente, embora seja um conteúdo extremamente importante, é pouco citado os fatores históricos sobre o mesmo e apenas é explanado sua utilização para a contagem. Dentre as diversas aplicações e problemas propostos por diversos matemáticos nos mais diferentes períodos da história, destacamos a permutação caótica, que foi proposta em um problema no século XVIII, cujo resultado deve-se a um empenhado e engenhoso trabalho de Leonhard Euler para solucionar um problema conhecido como “O Problema das Cartas Mal Endereçadas” que consiste em descobrir de quantas formas distintas podese colocar n cartas em n envelopes, endereçados a n destinatários diferentes, de modo que nenhuma das cartas seja colocada no envelope correto.

Assim, os matemáticos chegaram na fórmula de cálculo do número de permutações caóticas $D_n$ denominadas “desarranjos”, isto é, a quantidade de permutações das n letras $a,b,c,...$ nas quais nenhuma delas ocupa sua posição original:

$$D_n=n!(1-{\displaystyle \frac{1}{1!}}+{\displaystyle \frac{1}{2!}}-{\displaystyle \frac{1}{3!}}+{\displaystyle \frac{1}{4!}}-{\displaystyle \frac{1}{5!}}+...+(-1{)}^n{\displaystyle \frac{1}{n!}}),\forall n\ge 1$$

Considerando o texto acima, o número de possibilidades de enviarmos $5$ cartas distintas a $5$ destinatários de tal forma que nenhum destinatário receba a carta correta é

Dois ciclistas partiram ao mesmo tempo e em direções diferentes de um mesmo vértice de um losango de lado $10\mathrm{\text{m}}$ e ângulo menor $60$ graus. Eles pedalaram sobre o lado do losango à velocidade de $2\mathrm{\text{m/s}}$, até retornar ao vértice de onde partiram, circundando todo perímetro do losango.

O gráfico abaixo que descreve a distância $d$ entre os dois ciclistas em função do tempo é

Um grupo vai realizar uma viagem itinerante e começaram a estudar a estrada que devem seguir viagem. Um dos integrantes do grupo identificou que existe um posto de abastecimento a cada $20\mathrm{\text{km}}$ e um café a cada $36\mathrm{\text{km}}$ do seu ponto de partida. Com o intuito de reduzir custos e diminuir o tempo de viagem, pretendem estabelecer parada em lugares que tenham tanto o café quanto o posto de abastecimento.

Considerando que do ponto de partida até o seu destino final que se encontrava a $1\mathrm{\text{km}}$ antes da sexta dessas paradas, essa pessoa percorreu em sua viagem a distância de