Questões de EFAF Matemática

A venda de jogos eletrônicos tem se tornado um dos negócios mais rentáveis nos últimos anos, e a espera pela estreia de novas versões de jogos consagrados tem se tomado tão importante quanto as esperadas estreias de filmes campeões de bilheteria.

Em $2017$, o jogo eletrônico mais vendido nos $EUA$, Call ofDuty: WWII, conseguiu arrecadar; em seu primeiro fim de semana de vendas, a impressionante quantia de $500$ milhões de dólares, tal valor foi bem superior à quantia arrecadada no primeiro fim de semana de bilheteria de dois dos filmes mais rentáveis de $2017$: Thor: Ragnarok e Milher Maravilha, que arrecadaram, respectivamente, $115$ milhões de dólares e $100$ milhões de dólares.

A relação do cinema com os jogos de computador não para aí: muitas franquias de jogos possuem sua própria adaptação cinematográfica, como Assassin ’s Creed ($2016$) e Warcraft: O Primeiro Encontro de Dois Mundos ($2016$), que deixaram muitos fãs dos jogos bastante ansiosos em suas respectivas estreias.

O gráfico a seguir mostra o valor total arrecadado na venda de vários jogos eletrônicos no ano de $2017$, em dólares, considerando o público mundial.

As siglas $PS4$ e $NS$ referem-se, respectivamente, aos consoles Playstation $4$ e Nintendo Switch.

É possível afirmar, com base no gráfico, que, entre os cinco jogos mais vendidos em $2017$, aqueles produzidos para Playstation $4$ foram, em conjunto, mais rentáveis que aqueles produzidos para Nintendo Switch. A diferença entre o valor total arrecadado com a venda de jogos para Playstation $4$ e o valor total arrecadado com a venda de jogos para Nintendo Switch é igual a

Um dos mais famosos matemáticos brasileiros relacionado a recreações matemáticas foi Júlio César de Mello e Souza, conhecido pelo pseudônimo de Malba Tahan. Em uma de suas obras mais famosas, O Homem que Calculava, Malba Tahan conta as aventuras do calculista Beremiz Samir, conhecido por resolver problemas extremamente complicados de maneira mais simples.

Nesse contexto, foi proposto a Beremiz a resolução de um desafio matemático bastante conhecido, chamado Problema dos Quatro Quatros. De acordo com esse desafio, é possível escrever qualquer número inteiro de zero a 100 utilizando apenas quatro números quatro e com o auxílio de operações fundamentais, como a adição, a subtração, a multiplicação, divisão e raiz quadrada.

Por exemplo, o número zero pode ser obtido a partir da operação que emprega duas multiplicações e uma subtração.
A professora Marcela tentou aproveitar a ideia apresentada por Malba Tahan e construiu um relógio de ponteiros que apresentava os números escritos na forma de operações utilizando quatro quatros. A figura a seguir mostra tal relógio.

Marcela chegou à sala de aula exatamente às $14h30min$. Após três aulas de $45$ minutos, olhou para o relógio de ponteiros que construiu utilizando as ideias de Malba Tahan. O ponteiro dos minutos do relógio apontava, nesse momento, para a expressão

Uma evolução da concepção de dominó é a de poliminó, em que as peças são formadas por um ou mais quadrados congruentes que compartilham um ou mais lados. Obviamente, o dominó é um poliminó formado por dois quadrados.

A figura seguinte mostra poliminós formados por $1,2,3$ e $4$ quadrados.

Os tetraminós (poliminós formados de $4$ quadrados) foram utilizados como peças do famoso jogo de computador Tetris, idealizado pelos engenheiros Alexey Pajitnov, Dmitry Pavlovsky e Vadim Gerasimov em $1984$. Nesse jogo, as peças caem do topo da tela ao fundo, e o jogador tem a opção de rotacioná-las ou arrastá-las em todo o percurso até chegar à última camada. Devem-se combinar as peças lado a lado, de modo a formar camadas que se sobrepõem e preenchem a tela. Cada vez que uma camada completa de quadrados é construída, automaticamente ela é eliminada, e o objetivo é posicionar o número máximo de peças sem chegar ao topo da primeira camada.

Marcos, aluno do $5^{\circ }$ ano, decidiu jogar Tetris no seu tempo livre. Conhecendo bem as regras e considerando seus conhecimentos em aritmética e geometria, Marcos começou a pensar em algumas relações matemáticas que ele poderia obter no jogo. A figura a seguir mostra a tela quadriculada do jogo que Marcos está realizando.

O xadrez é um jogo tão antigo que, durante todos os anos de sua existência, várias foram as histórias associadas a sua origem.

Uma das histórias mais conhecidas sobre a origem desse jogo ocorre na India. Conta-se que o monarca de certa região havia perdido seu único filho em uma batalha, e por esse motivo, havia entrado numa profunda depressão. Um sacerdote, buscando melhorar a saúde do rei e deixá-lo novamente animado, foi ao seu encontro mostrando um de seus inventos: um jogo de tabuleiro formado por $64$ quadrados, brancos e pretos, com $32$ peças, também brancas e pretas, que representavam as tropas do exército, a infantaria, a cavalaria, os carros de combate, os condutores de elefantes, o principal ministro do governo e o próprio rei.

De fato, o jogo tornou-se a alegria do rei e acabou completamente com sua tristeza. Como recompensa, o sacerdote foi agraciado com a oportunidade de pedir o que quisesse. Logo de primeira, ele recusou tal oferta, pois achava que não fosse merecedor de tal proposta, mas mediante insistência do rei, ele aceitou. O sacerdote então pediu simplesmente um grão de trigo para a primeira casa do tabuleiro de xadrez, dois para a segunda, quatro para a terceira, oito para a quarta e assim sucessivamente até a última casa. O rei chegou a achar graça, tamanha a ingenuidade do pedido.

Entretanto, o humilde pedido do sacerdote não era tão humilde assim. Após fazerem vários cálculos de quanto trigo deveria ser entregue, descobriram que seria necessária toda a safra do reino por incríveis dois mil anos para atender ao pedido. Impressionado com a inteligência do sacerdote, o rei o convidou para ser o principal vizir (espécie de ministro, conselheiro do rei) do reino, sendo perdoado pelo mesmo de sua grande dívida em trigo.

Disponível em: http://soxadçez, com hr/conteudas/historia xadrez/ Acesso em 08/08/2018 com adaptações

As figuras a seguir, cujos contornos estão destacados em vermelho, foram formadas a partir de casas do tabuleiro de xadrez em que cada quadradinho tem $1$ centímetro $(cm)$ de lado.

Sabendo que o perímetro da Figura $1$ é $P$ centímetros $(cm)$ e a área da Figura $2$ é $A$ centímetros quadrados $(c{m}^2)$, a fração cujo numerador é $P$ e o denominador é $A$ é equivalente a

O xadrez é um jogo tão antigo que, durante todos os anos de sua existência, várias foram as histórias associadas a sua origem.

Uma das histórias mais conhecidas sobre a origem desse jogo ocorre na India. Conta-se que o monarca de certa região havia perdido seu único filho em uma batalha, e por esse motivo, havia entrado numa profunda depressão. Um sacerdote, buscando melhorar a saúde do rei e deixá-lo novamente animado, foi ao seu encontro mostrando um de seus inventos: um jogo de tabuleiro formado por $64$ quadrados, brancos e pretos, com $32$ peças, também brancas e pretas, que representavam as tropas do exército, a infantaria, a cavalaria, os carros de combate, os condutores de elefantes, o principal ministro do governo e o próprio rei.

De fato, o jogo tornou-se a alegria do rei e acabou completamente com sua tristeza. Como recompensa, o sacerdote foi agraciado com a oportunidade de pedir o que quisesse. Logo de primeira, ele recusou tal oferta, pois achava que não fosse merecedor de tal proposta, mas mediante insistência do rei, ele aceitou. O sacerdote então pediu simplesmente um grão de trigo para a primeira casa do tabuleiro de xadrez, dois para a segunda, quatro para a terceira, oito para a quarta e assim sucessivamente até a última casa. O rei chegou a achar graça, tamanha a ingenuidade do pedido.

Entretanto, o humilde pedido do sacerdote não era tão humilde assim. Após fazerem vários cálculos de quanto trigo deveria ser entregue, descobriram que seria necessária toda a safra do reino por incríveis dois mil anos para atender ao pedido. Impressionado com a inteligência do sacerdote, o rei o convidou para ser o principal vizir (espécie de ministro, conselheiro do rei) do reino, sendo perdoado pelo mesmo de sua grande dívida em trigo.

Disponível em: http://soxadçez, com hr/conteudas/historia xadrez/ Acesso em 08/08/2018 com adaptações

Theo, aluno do $5^{\circ }$ ano, é fã de xadrez e decidiu cobrir a parede de seu quarto, que possui dimensões $3,5m$ por $2,5m$, com azulejos quadrados, de cores branca e preta, tal qual um tabuleiro de xadrez.

Para economizar na compra de material, Theo quer utilizar azulejos do maior tamanho possível, e que a parede seja completamente coberta, sem sobrar espaços e sem que seja preciso cortar nenhum azulejo.

Quantos azulejos Theo deve comprar?