Questões de EFAF Matemática

Colocamos em ordem crescente os números escritos nas casas brancas do tabuleiro a seguir (estamos mostrando apenas as suas quatro primeiras linhas). Assim, por exemplo, o nono número da nossa lista é 14.

Qual é o 2000° número da nossa lista?

A notação |_x_| significa o maior inteiro que não supera x. Por exemplo, |_3,5_| = 3 e |_5_| = 5.

O número de inteiros positivos x para os quais |_x^1/2_| + |_x^1/3_| = 10 é:

Uma caixa contém 900 cartões, numerados de 100 a 999. Retiram-se ao acaso (sem reposição) cartões da caixa e anotamos a soma dos seus algarismos.

Qual é a menor quantidade de cartões que devem ser retirados da caixa, para garantirmos que pelo menos três destas somas sejam iguais?

Em um jogo de duas pessoas, os jogadores tiram, alternadamente, 1, 2, 3, 4 ou 5 palitos de uma pilha que inicialmente tem 1000 palitos. Ganha o jogador que tirar o último palito da pilha.

Quantos palitos o jogador que começa deve tirar na sua jogada inicial de modo a assegurar sua vitória?

Há três cartas viradas sobre uma mesa. Sabe-se que em cada uma delas está escrito um número inteiro positivo. São dadas a Carlos, Samuel e Tomás as seguintes informações:

i) todos os números escritos nas cartas são diferentes;

ii) a soma dos números é 13;

iii) os números estão em ordem crescente, da esquerda para a direita.

Primeiro, Carlos olha o número na carta da esquerda e diz: “Não tenho informações suficientes para determinar os outros dois números.” Em seguida, Tomás olha o número na carta da direita e diz: “Não tenho informações suficientes para determinar os outros dois números.” Por fim, Samuel olha o número na carta do meio e diz: “Não tenho informações suficientes para determinar os outros dois números.”

Sabendo que cada um deles sabe que os outros dois são inteligentes e escuta os comentários dos outros, qual é o número da carta do meio?

Seja f uma função real que tem as seguintes propriedades:

i) Para todos x, y reais, f(x + y) = x + f(y);

ii) f(0) = 2.

Quanto vale f(2000)?