Questões de EFAF Matemática - Sistemas de numeração

No começo do ano, em uma papelaria, uma caixa de lápis de cor e um kit com quatro cadernos custavam o mesmo valor. Depois de um mês, os lápis estavam com 10% de desconto, e o preço do kit de cadernos tinha subido 8%.

 

Quanto foi economizado ao se comprarem os lápis e os cadernos tardiamente?

O texto a seguir serve de base para a QUESTÃO.

 

Divertimento nº 5 - As coordenadas do tesouro.

 

    Em 1947, o físico americano George Gamov publicou um dos mais famosos livros de matemática recreativa: One, Two, Three...Infinity. Nesse livro, aparece um dos mais conhecidos problemas envolvendo coordenadas cartesianas em uma brincadeira de caça ao tesouro: Um jovem aventureiro encontra um pergaminho em que há instruções para encontrar um tesouro. Esse problema foi reproduzido em diversos outros livros e formatos. A seguir, baseado no problema de Gamov, apresentamos uma versão de caça ao tesouro em um plano cartesiano. 

    Quando aportou em uma ilha, um pirata encontrou, dentro de uma garrafa, o seguinte mapa:

    Suponha que o pirata tenha encontrado o enorme coqueiro e seguido as instruções dadas no mapa. A figura abaixo é uma representação, no plano cartesiano, da trajetória seguida pelo pirata até encontrar o baú de pedras preciosas.

    Nessa representação, o ponto P₀ corresponde ao enorme coqueiro descrito no mapa e é a origem do plano cartesiano. Além disso, o ponto P₁ corresponde à posição do pirata imediatamente após a execução da 1ª etapa; o ponto P₂ à posição do pirata imediatamente após a execução da 2ª etapa; e, de modo geral, o ponto P_n, à posição do pirata imediatamente após a execução da n-ésima etapa, em que n é um número natural.

Ao seguir as instruções dadas no mapa, o pirata percorreu, do enorme coqueiro até a posição em que está enterrado o baú de pedras preciosas, um trajeto de comprimento, em metros,

 

Sugestão: use que   para todo número n natural.

Leia o texto abaixo para responder à QUESTÃO.

Divertimento nº 3 — Quadrados Mágicos.

    O problema do quadrado mágico consiste em posicionar números inteiros numa tabela, de forma que as somas, em cada linha, cada coluna e cada uma das duas diagonais principais sejam iguais. Essa soma é denominada soma mágica. Por exemplo, a tabela a seguir é um quadrado mágico em que a soma mágica é 9.

Dizemos que um quadrado mágico é de ordem n quando ele tem n linhas e n colunas. Um quadrado mágico de ordem n formado por todos os números inteiros de 1 até nº é denominado quadrado mágico normal. Nesse sentido, a tabela abaixo é um quadrado mágico normal de ordem 3 com soma mágica igual a 15.

Pode-se mostrar que, em todo quadrado mágico de ordem 3, o elemento que está na 2º linha e na 2º coluna é um terço da soma mágica.

 

    O quadrado mágico normal de ordem 3 acima já era conhecido na China por volta do ano 3000 a.C. Diz uma lenda que ele foi visto pela primeira vez nas costas de uma tartaruga que emergia do rio Lo.

 

    Um quadrado mágico de ordem 4 aparece, por exemplo, na gravura Melancholia I, feita pelo pintor alemão Albrecht Diirer em 1514.

http://mostramat.blogspot.com.br (acesso 27/08/2017)

Considere que a tabela abaixo é um quadrado mágico. Nela, alguns valores foram omitidos e, além disso, m e n são inteiros positivos.

Se a soma mágica desse quadrado é igual a 42, então m+n é igual a

Considere uma sequência de números dada pela fórmula

 

para todo n natural.

 

Então, é igual a

Leia o texto abaixo para responder à QUESTÃO.

 

Divertimento nº2 — Números de Fibonacci.

 

Leonardo de Pisa, também conhecido como Leonardo Fibonacci, foi o primeiro grande matemático da Europa Cristã Medieval. Quando jovem, fez várias viagens pelo Egito, Síria, Grécia e Constantinopla, onde estudou diversos sistemas de numeração. Convencido da superioridade e praticidade do sistema de numeração indo-arábico, publicou em 1202 o Liber Abaci (O Livro do Cálculo”). Nele, Fibonacci apresentou o seguinte problema de geração de coelhos:

 

    “Um casal de filhotes de coelhos, pertencentes a uma raça imortal, foi colocado em um lugar cercado de muros intransponíveis por todos os lados. Sabe-se que, nessa raça, um casal de coelhos maduros gera, a cada mês, um par de filhotes de coelhos, sendo necessários dois meses para que um par de filhotes de coelhos se torne maduro. Dessa forma, quantos casais de coelhos haverá nesse lugar um ano após a chegada do primeiro casal de coelhos?

 

Denote por F_n o número de pares de coelhos n meses após a chegada do primeiro casal de coelhos. Assim,

 

F₀ = 1, F₁ = 1, F₂ = 2, F₃ = 3, F₄ = 5, F₅ = 8, F₆,=13,...

 

Essa sequência de números foi chamada pelo matemático francês Edouard Lucas, no século XIX, de Sequência de Fibonacci. Note que cada número dessa sequência, a partir do terceiro, é a soma dos dois anteriores. Assim, por exemplo, F₂ = F₁ + F₀, F₃ = F₂ + F₁, F₄ = F₃ + F₂, F₅ = F₄ + F₃ etc.

Sejam x = F_n · F_n+1, y = 2 · F_n+1 · F_n+2 e z = (F_n+1)² + (F_n+2)², em que F_n, F_n+1, F_n+2 e F_n+3 (n natural) são quatro números consecutivos da Sequência de Fibonacci. Pode-se mostrar que o triângulo cujos lados têm medidas, em cm, iguais a x, y e z é retângulo.

 

Em relação aos lados desse triângulo, é correto afirmar que a hipotenusa tem medida, em cm, igual a

Leia o texto abaixo para responder à QUESTÃO.

 

Divertimento nº2 — Números de Fibonacci.

 

Leonardo de Pisa, também conhecido como Leonardo Fibonacci, foi o primeiro grande matemático da Europa Cristã Medieval. Quando jovem, fez várias viagens pelo Egito, Síria, Grécia e Constantinopla, onde estudou diversos sistemas de numeração. Convencido da superioridade e praticidade do sistema de numeração indo-arábico, publicou em 1202 o Liber Abaci (O Livro do Cálculo”). Nele, Fibonacci apresentou o seguinte problema de geração de coelhos:

 

    “Um casal de filhotes de coelhos, pertencentes a uma raça imortal, foi colocado em um lugar cercado de muros intransponíveis por todos os lados. Sabe-se que, nessa raça, um casal de coelhos maduros gera, a cada mês, um par de filhotes de coelhos, sendo necessários dois meses para que um par de filhotes de coelhos se torne maduro. Dessa forma, quantos casais de coelhos haverá nesse lugar um ano após a chegada do primeiro casal de coelhos?

 

Denote por F_n o número de pares de coelhos n meses após a chegada do primeiro casal de coelhos. Assim,

 

F₀ = 1, F₁ = 1, F₂ = 2, F₃ = 3, F₄ = 5, F₅ = 8, F₆,=13,...

 

Essa sequência de números foi chamada pelo matemático francês Edouard Lucas, no século XIX, de Sequência de Fibonacci. Note que cada número dessa sequência, a partir do terceiro, é a soma dos dois anteriores. Assim, por exemplo, F₂ = F₁ + F₀, F₃ = F₂ + F₁, F₄ = F₃ + F₂, F₅ = F₄ + F₃ etc.

Assinale a alternativa que corresponde à resposta ao problema de geração de coelhos proposto por Fibonacci no Liber Abaci.