Questões de EFAF Matemática - Razão

Para pintar os dois lados de um muro de formato retangular, desprezando sua espessura, foram necessárias exatamente latas de tinta, que cobrem, cada uma,  de área.

 

Sabendo-se que a altura do muro corresponde a  de seu comprimento, então a razão entre a medida do comprimento do muro e o seu perímetro vale:

    O número de ouro, ou razão áurea, é um número real positivo, misterioso e enigmático, que aparece em uma infinidade de elementos na natureza na forma de uma razão. Esse número é representado pela
letra grega phi (ø). Considere o procedimento abaixo, como sendo, um dos meios matemáticos para a determinação desse número:

    Seja um segmento AB de uma unidade de comprimento e um ponto x que divide esse segmento. Logo, temos dois novos segmentos, AX e XB, que medem, respectivamente,  e  unidades de comprimento. 

    A definição de Euclides, encontrada no seu livro VI dos Elementos de Euclides, diz: “Um segmento de reta se diz dividido em média e extrema razão, se a razão entre o menor e o maior dos segmentos é igual à razão entre o maior e o segmento todo”. Uma das formas de reescrever essa definição é dada pela equação:

    Ajustando a expressão acima, obtém-se uma equação quadrática com raízes reais. Por fim, tem-se que ø é a razão entre os segmentos AX e XB.

 

Pode-se determinar o número ø como:

    A caixa d' água do CMSM pode ser abastecida pela Companhia Rio-grandense de Saneamento (CORSAN) e/ou por um poço artesiano localizado no interior do colégio.

    Sabe-se que:

    a. para encher a caixa com água da CORSAN e do poço artesiano, ao mesmo tempo, são necessárias de 48 min;

    b. para deixar a caixa d'água cheia, com o abastecimento sendo feito somente pelo poço artesiano, são necessárias quatro horas a mais em relação ao tempo de abastecimento feito somente pela CORSAN;

    c. cessado qualquer tipo de abastecimento e estando a caixa d'água cheia, ela pode ser esvaziada por uma torneira de vazão constante em 16 horas.

    Considerando os dados acima e estando a caixa d'água inicialmente vazia, calcule:

 

    1) o tempo necessário para encher a caixa d'água do CMSM somente com água da CORSAN;

    2) o tempo necessário para encher a caixa d'água, sabendo que os dois abastecimentos são realizados simultaneamente e que a torneira para esvaziá-la está aberta.

 

Assinale a alternativa que apresenta, respectivamente, as respostas corretas.

Utilize o texto abaixo para responder à questão.

 

    A Olimpíada Internacional de Matemática (IMO) é a maior, mais antiga e prestigiada Olimpíada científica para alunos do ensino médio. A história da IMO data de 1959, quando a primeira edição foi realizada na Romênia, com a participação de sete países: Romênia, Hungria, Bulgária, Polônia, Checoslováquia, Alemanha Oriental e URSS. Cada país pode enviar uma equipe de até seis alunos do ensino médio - ou alunos que não tenham ingressado em uma universidade, ou instituição equivalente, na data de realização da Olimpíada - além de um líder de equipe, um vice-líder e observadores, se desejado.

    Durante a IMO, os competidores devem resolver, individualmente, duas provas em dois dias consecutivos, com três problemas em cada dia. Cada problema vale 7 (sete) pontos.

https://www.imo2017.org.br/sobre-a-imo.html

A IMO premia a metade dos participantes com medalhas. Essas medalhas – ouro, prata e bronze – são concedidas, respectivamente, na proporção de 1:2:3. Para incentivar o maior número possível de alunos a resolverem problemas completos, são concedidos certificados de menção honrosa àqueles estudantes que não receberam medalha, mas obtiveram 7 (sete) pontos em pelo menos um problema.

Adaptado de: https://www.imo2017.org.br/sobre-a-imo.html

 

Obedecidas as regras, o percentual de candidatos que faz jus à medalha de bronze na IMO é

Em uma competição, as partidas têm duração de 60 minutos, e cada time tem sempre 5 jogadores em campo. Em determinada partida, um time inscreveu 8 atletas e foram feitas várias substituições de modo que cada um deles jogou a mesma quantidade de tempo. Quanto tempo cada um deles jogou nessa partida?

O governo municipal de Palmares, Mata Sul do estado de Pernambuco, decidiu construir um conjunto residencial. Para isso, contratou uma empresa que executasse a obra projetada para ser concluída em 12 meses. A empresa responsável verificou que 40 operários seriam suficientes para concluir todo o trabalho em 12 meses (prazo estabelecido em projeto). Depois de seis meses sem atrasos na construção, o governo exigiu que a obra fosse concluída nos 4 meses seguintes, obrigando a empresa a contratar novos operários. Se considerarmos que todos os operários têm a mesma eficiência, quantos funcionários a mais a empresa precisa contratar para terminar a obra no novo prazo exigido?