Questões de EFAF Matemática - Sistemas de numeração

A Torre de Hanói, jogo criado pelos matemáticos franceses Eduard Lucas e De Parville em 1894, consiste num conjunto de três pinos fixos numa base comum. Num dos pinos, 7 peças furadas estão enfiadas em ordem decrescente de tamanho, de baixo para cima. O desafio consiste em transportar uma a uma essas sete peças para um dos outros pinos num menor número possível de movimentos. Não é permitido, em nenhuma etapa, que uma peça grande fique pousada sobre outra de menor tamanho.

Helionildson propôs um desafio a sua filha Bethovânea, para resolver o desafio da Torre de Hanói com 10 discos no menor tempo possível e na menor quantidade de movimentos. Quando Bethovânea acabou de realizar o 423º movimento, seu pai que a acompanhava, disse em alto e bom som: “Agora, Bethovânea, só restam N movimentos!”.

Qual é o número N?

Carl Friedrich Gauss nasceu em Braunschweig (hoje, Brunswick), na Alemanha, no dia 30 de abril de 1777 (...). Um dia seu professor Buettner passou o problema de somar todos os números de 1 a 100. Especula-se que Gauss descobriu notando o que acontece se você resolver somar não um, mas dois conjuntos de todos os números inteiros de 1 a 100.

(A janela de Euclides, Leonard Mlodinow, Geração Editorial)

Sabendo-se que

E utilizando seus conhecimentos sobre o Carl Friedrich Gauss, quanto vale a soma abaixo?

As máquinas de venda automática comercializam itens como lanches, bebidas, bilhetes de loteria, perfumes e produtos de consumo no geral, depois que o consumidor insere o dinheiro no dispositivo. A primeira máquina de venda totalmente automática foi patenteada em 1867 por Simeon Denham e era uma máquina de distribuição de selos.

A máquina abaixo é automática e vende garrafas de água, cada uma no valor de 40 centavos de real, aceitando apenas moedas de 5, 10 ou 25 centavos, e não devolve o troco.

De quantos modos podem ser usadas essas moedas para comprar uma garrafa de água?

Ao utilizar um conjunto de canudos todos iguais Wellingtonglaybson construiu a seguinte sequência de quadrados (Q) e triângulos (T), na ordem Q, Q, T, Q, Q, T, Q, Q, T, Q, Q, T, Q, Q, T, ..., de acordo com a figura abaixo:

Se Wellingtonglaybson utilizou 161, quantos quadrados completos ele fez?

Observe a sequência numérica a seguir:

Mantida a lei de formação, os dois próximos algarismos da sequência serão:

Erastonclóbeson ganhou um jogo diferente composto por peças retangulares formadas por três quadrados. O interessante desse jogo é que em cada quadrado temos o desenho de uma das cinco peças do jogo de xadrez, são elas: Rei, Rainha, Bispo, Torre e Cavalo.

Abaixo temos um exemplo de uma das peças do jogo:

Sabendo que em cada peça os três desenhos são diferentes, quantas peças têm o jogo?