Questões de EFAF Matemática - Sistemas de numeração

O eclipse lunar de 21 de janeiro de 2019 foi um eclipse lunar total, que resultou em uma super lua de sangue visível na América do Norte, América do Sul, oeste da Europa e África. O eclipse lunar é o processo de encobrimento da lua pela sombra da Terra durante um curto período de tempo. Acontece somente com a lua cheia, pois é nesse momento em que ela está completamente alinhada com a Terra em relação ao Sol. Confira o esquema a seguir:

Disponível em: https:/mundoeducacao.bol.uol.com.br/geografia/eclipse-lunar.htm Acesso em 19/06/2019.

Supondo que a distância entre os centros da Terra e do Sol seja de 1,5.10⁸ Km e que entre os centros da Terra e da Lua seja de 3,84.10⁵ Km, respectivamente, pode-se concluir que a distância entre os centros do Sol e da Lua, durante o eclipse lunar, representado no esquema, é de:

Durante uma aula de Matemática da professora Flávia, seus alunos do 9º ano estavam curiosos e decidiram perguntar por sua idade. Flávia viu nesse contexto uma oportunidade perfeita para aplicar o que já vinha ensinando acerca das propriedades de potenciação.

Assim, a professora fez a seguinte afirmação:

"A minha idade está representada pela expressão a seguir:"

Com relação à expressão dada e aplicando seus conhecimentos sobre potenciação e radiciação, pode-se concluir que a idade da professora Flávia é:

Observe o padrão dos resultados obtidos com a soma dos cubos de números naturais consecutivos.

Agora observe o padrão dos resultados obtidos com a soma dos números ímpares consecutivos.

Existe um valor para x que faz com que a expressão a seguir seja verdadeira.

A soma dos algarismos de x é

Leia o fragmento de texto a seguir: 

[...] E o principe Cluzir Schá narrou o seguinte: 

- Um navio que voltava de Serendibe (nome antigo de Ceilão, atual Sri Lanka), trazendo grande quantidade
de especiarias, foi atingido por violenta tempestade. A embarcação teria sido destruída pela fúria das ondas,
se não fosse a bravura e o esforço de três marinheiros que, no meio da tormenta, manejaram as velas com
extrema perícia. O comandante, querendo recompensar os valentes marujos, deu-lhes 241 catis (Catil,
moeda; unidade de peso). As moedas foram colocadas em uma caixa, para que no dia seguinte, por ocasião
do desembarque, o almoxarife as repartisse entre os três corajosos marinheiros, Aconteceu, porém, que
durante a noite, um dos marinheiros acordou, lembrou-se das moedas e pensou: “Será melhor que eu tire a
minha parte, Assim não terei ocasião de discutir ou brigar com os meus amigos”. E, sem nada dizer aos
companheiros, foi, pé ante pé, até onde se achava guardado o dinheiro. Dividiu-o em três partes iguais, mas
notou que a divisão não era exata e que sobrava um catil, “Por causa dessa mísera moedinha é capaz de
haver, amanhã, discussão e rixa. O melhor é jogá-la fora” E o marinheiro atirou a moeda ao mar, retirando-
se, cauteloso. Levava a sua parte e deixava no mesmo lugar a que cabia aos companheiros. Horas depois, o
segundo marinheiro teve a mesma ideia. Foi à arca em que se depositara o prêmio coletivo e divídiu-o em
três partes iguais. Sobrava uma moeda. Ao marujo, para evitar futuras dúvidas, veio à lembrança atirá-la ao
mar. E dali voltou levando consigo a parte a que se julgava com direito. O terceiro marinheiro, ignorando a
antecipação dos colegas por completo, teve a mesma iniciativa. Levantou-se de madrugada e foi, pé ante pé,
à caixa dos catis. Dividiu as moedas que lá encontrou em três partes iguais; a divisão não foi exata. Sobrou um
catil. Não querendo complicar o caso, o marujo atirou ao mar a moedinha excedente, retirou a terça parte
para si e voltou tranquilo para o seu leito, No dia seguinte, na ocasião do desembarque, o almoxarife do
navio encontrou um punhado de catis na caixa. Soube que essas moedas pertenciam aos três marinheiros.
Dividiu-as em três partes iguais, dando a cada um dos marujos uma dessas partes. Ainda dessa vez, a divisão
não foi exata. Sobrava uma moeda, que o almoxarife guardou como paga do seu trabalho e de sua habilidade.
É claro que nenhum dos marinheiros reclamou, pois cada um deles estava convencido de que já havia
retirado da caixa a parte que lhe cabia do dinheiro.

Adaptado de: TAHAN, Malba. O homem que calculava. 3a ed. Rio de Janeiro: Record, 2017 – Problema 19: O problema dos marinheiros, pp. 141-145.

Com base no texto, qual seria a diferença entre a quantidade de moedas do primeiro marujo para o terceiro
marujo?

Marin Mersenne (1588 — 1648) foi um monge francês que tinha muito interesse pela ciência. Nos dias atuais, ele é lembrado principalmente pelos números primos de Mersenne. Esses números podem ser escritos da forma 2ⁿ - 1  em que  é um número natural. O número 7, por exemplo, é um número primo de Mersenne, pois pode ser escrito como 2³ - 1. O número 11, apesar de ser primo, não é um primo de
Mersenne, pois não há um número natural p, tal que 2^p - 1 = 11. Já o número 15, pode ser escrito como 2⁴ - 1, mas não é um número primo de Mersenne, por não ser primo.

Atualmente, há apenas 51 números primos de Mersenne descobertos, sendo que o último corresponde a  = 82.589.933 e tem 24.862.048 algarismos. Essa última descoberta ocorreu em 7 de dezembro de 2018, por Patrick Laroche, profissional de TI (Tecnologia da Informação) que trabalha na Flórida, Estados Unidos.

Com base nas informações anteriores, quantos números primos de Mersenne existem entre 1 e 10.000?

Determine a soma dos algarismos do número N: 

N = 2⁸·3·5⁹·7²