Questões de EFAF Matemática

Em cada ponto do plano cartesiano com ambas as coordenadas inteiras, construímos círculos de raio r.

O menor valor de r para o qual qualquer circunferência de raio  (com centro de coordenadas reais quaisquer) corte algum dos círculos de raio r é:

Para n inteiro positivo, o fatorial de n é n! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ n. Não existe n para o qual n! termina em 2015 zeros, mas existe n para o qual n! termina em 2016 zeros.

O menor valor de n para o qual isso ocorre é:

Um conjunto finito A de números reais é parfeito quando tem pelo menos dois elementos e { ab ∣ a, b ∈ A e a ≠ b } = A, ou seja, o conjunto obtido multiplicando-se todos os pares de números distintos de A é o próprio A. Por exemplo, {1,2, 1/2} é parfeito pois {1 ⋅ 2,1 ⋅ 1/2, 2 ⋅ 1/2} = {2, 1/2, 1}, mas {1,2,3} ≠ {1 ⋅ 2,1 ⋅ 3,2 ⋅ 3} não é parfeito.

Quantos elementos pode ter um conjunto parfeito?

Inicialmente, na tela de um computador, estão escritos os números 1 e 2. A cada segundo, esses dois números são trocados pela soma de seus quadrados e pelo dobro de seu produto.

Depois de aproximadamente quanto tempo um desses dois números vai ser maior do que a quantidade de átomos no planeta Terra, que é cerca de 10⁵⁰?

No triângulo ABC, , . Seja M o ponto médio do lado AB.

Se m(BAC) = α e m(BMC) = ß e m(M BC) = γ então:

No desenho abaixo, o segmento CF é tangente ao semicírculo de diâmetro AB.

Se ABCD é um quadrado de lado 4, determine o comprimento de CF.