Uma função f : ℕ → ℕ associa a cada número natural n um número natural f(n) , tal que
Se (f ∘ f)(x) = f (f(x)), então quantos elementos há, ao todo, no conjunto solução da equação (f ∘ f ∘ f)(n) n = ?
Na figura a seguir, o ponto P não é fixo e pode ocupar uma posição qualquer desde que PA e PB sejam sempre cordas do círculo de diâmetro AB . Note ainda, na figura, os semicírculos de diâmetros PA e PB.
Adote a seguinte notação: XY = medida ou comprimento de XY.
A soma das áreas das duas regiões sombreadas nessa figura será máxima quando:
Trabalhando juntas, duas máquinas fazem um determinado trabalho em quatro horas a menos do que a mais rápida delas levaria para fazê-lo sozinha. A mais lenta dentre as duas, por sua vez, para fazer sozinha esse mesmo trabalho, levaria cinco horas a mais do que levaria sozinha a mais rápida.
Quanto tempo é necessário para que, juntas, essas máquinas possam efetuar dois desses trabalhos?
Considerando a progressão geométrica (a1, a2 , ...) (1024, 512, ...), a progressão aritmética (b1 , b2 , ...) (-48, -45, ...) e a reta, do plano cartesiano, de equação y = a9 · X + b21, determine (em unidades de área) a área da região do plano que é delimitada por essa reta e pelos eixos coordenados.
Para embalar e despachar uma determinada quantidade ímpar de blocos lógicos idênticos, um dos funcionários da empresa BLOK precisava optar, necessariamente, por um único tipo de caixa de forma tal que todas ficassem completamente cheias e a maior quantidade possível das unidades disponíveis pudessem ser despachadas. A empresa dispunha apenas de caixas com capacidades para um total de 9, 7 ou 5 blocos e, após analisar as possibilidades de envio, o funcionário optou pelas caixas de maior capacidade, pois, dessa forma, apenas um dos blocos não foi despachado. A opção por caixas com 7 blocos faria com que sobrassem exatamente 5 e se tivessem sido fabricados mais 2 deles – o que já não era possível, por questões técnicas – todos poderiam ter sido enviados em caixas com 5 blocos cada. Em todas as situações, havia caixas suficientes de cada um dos três tipos.
Sabendo que a quantidade total de blocos era representada por um número de três algarismos, determine o produto desses algarismos.
Sendo as raízes do polinômio, considere os números a1, a2, a3, a4 e a5 associados às raízes desse polinômio, tal que
Se então k é igual a: